В неравнобедренном треугольнике \(ABC\) провели высоту \(BH\), медиану \(BM\) и биссектрису \(BL\). Точки \(P\) и \(Q\) \(-\) ортогональные проекции вершин \(A\) и \(C\) на прямую \(BL\). Докажите, что точки \(M\), \(H\), \(P\) и \(Q\) лежат на одной окружности.

Показать решение

На тарелке лежат различные конфеты трёх видов: 2 леденца, 3 шоколадных и 5 мармеладных. Света последовательно все их съела, выбирая каждую следующую конфету наугад. Найдите вероятность того, что первая и последняя съеденные конфеты были одного вида.

Показать решение

В школьном турнире по крестикам-ноликам участвовали 16 учеников, каждый сыграл с каждым ровно одну игру. За победу давалось 5 очков, за ничью — 2 очка, за поражение — 0 очков. После завершения турнира выяснилось, что суммарно все участники набрали 550 очков. Какое наибольшее количество участников могло ни разу не сыграть вничью в этом турнире?

Показать решение

Натуральное число \(A\) назовём интересным, если существует натуральное число \(B\) такое, что: \(\\\)

• \(A > B\); \(\\\)

• разность чисел \(A\) и \(B\) — простое число; \(\\\)

• произведение чисел \(A\) и \(B\) — точный квадрат. \(\\\)

Найдите все интересные числа, большие 200 и меньшие 400.

Показать решение

Положительные числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) больше 1. Найдите наименьшее возможное значение выражения \(\log_{a} (ab^2)+\log_{b} (b^2c^3)+\log_{c} (c^5d^6)+\log_{d} (d^{35}a^{36})\).

Показать решение

Точка \(P\) внутри остроугольного треугольника \(ABC\) такова, что \(\angle BAP = \angle CAP\). Точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Прямая \(MP\) пересекает описанные окружности треугольников \(ABP\) и \(ACP\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно (точка \(P\) лежит между точками \(M\) и \(E\), точка \(E\) лежит между точками \(P\) и \(D\)). Оказалось, что \(DE = MP\). Докажите, что \(BC = 2BP\).

Показать решение

Назовём функцию \(f(x)\) хорошей, если \(\\ \)
• \(f(x)\) определена на отрезке \([0, 1]\) и принимает действительные значения; \(\\ \)
• для всех \(x\), \(y \in [0,1]\) верно \(|x−y|^2 \leqslant |f(x)−f(y)| \leqslant |x−y|\). \(\\ \)
Найдите все хорошие функции.

Показать решение

Каждое натуральное число покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный, причём все 3 цвета встречаются. Может ли оказаться так, что сумма любых двух чисел разных цветов является числом оставшегося цвета?

Показать решение

Различные действительные числа \(x, y, z\) таковы, что среди трёх чисел

\[\dfrac{x+y}{x^2+xy+y^2}, \quad \dfrac{y+z}{y^2+yz+z^2}, \quad \dfrac{z+x}{z^2+zx+x^2}\]

какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?

Показать решение

Натуральные числа \(a, b, c\) таковы, что \(1 \leqslant a < b < c \leqslant 3000.\) Найдите наибольшее возможное значение величины

\[\text{НОД}(a,b) + \text{НОД}(b,c) + \text{НОД}(c,a).\]

Показать решение

В окружность \(\omega\) вписан треугольник \(ABC\) такой, что \(AB < BC\). Биссектриса внешнего угла \(B\) пересекает \(\omega\) в точке \(M\). Прямая, параллельная \(BM\), пересекает стороны \(BC, AB\) и продолжение стороны \(CA\) за точку \(A\) в точках \(P, Q\) и \(R\) соответственно. Прямая \(MR\) вторично пересекает \(\omega\) в точке \(X\). Докажите, что точки \(B, P, Q, X\) лежат на одной окружности.

Показать решение

Дана клетчатая доска 100 \(\times\) 100. Каждая клетка доски покрашена в один из двух цветов: белый или чёрный. Назовём раскраску доски \(\textit{уравновешенной,}\) если в каждой строке и каждом столбце 50 белых и 50 чёрных клеток. За одну операцию разрешается выбрать две строки и два столбца так, чтобы из 4 клеток на их пересечении две были чёрными, а две \(-\) белыми, и перекрасить каждую из этих 4 клеток в противоположный цвет. Докажите, что из любой уравновешенной раскраски можно получить любую другую уравновешенную раскраску с помощью указанных операций.

Показать решение

Квадратные трёхчлены \(P(x)\) и \(Q(x)\) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют 4 различных действительных корня, а также каждый из многочленов \(P(Q(x))\) и \(Q(P(x))\) имеет 4 различных действительных корня. Какое наименьшее количество различных действительных чисел может быть среди корней многочленов \(P(x), Q(x), P(Q(x))\) и \(Q(P(x))\)?

Показать решение

В треугольнике \(ABC\) биссектрисы углов \(BAC\) и \(BCA\) пересекают стороны \(BC\) и \(AB\) в точках \(K\) и \(P\) соответственно. Известно, что длина стороны \(AC\) равна сумме длин отрезков \(AP\) и \(CK.\) Найдите величину угла \(ABC.\)

Показать решение

Тройка действительных чисел \(A, B, C\) такова, что \(\sin A + \sin B + \sin C = 0\) и \(\cos A + \cos B + \cos C = 0\). Найти значение выражения \(\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A).\)

Показать решение

Найти все решения системы уравнений в действительных числах:
\[\left\{\begin{array}{l} x^5 = y^3 +2z, \\ y^5 = z^3 + 2x, \\ z^5 = x^3 +2y. \end{array}\right.\]

Показать решение

В возрастающей арифметической прогрессии из \(n\) натуральных чисел каждый член, кроме последнего, делится на свой номер в прогрессии, а последний \(-\) нет. Докажите, что \(n\) является степенью некоторого простого числа.

Показать решение

На одной стороне каждой из 100 карточек написали одно из натуральных чисел от 1 до 100 включительно (каждое число записано ровно на одной карточке), после чего перевернули их обратными сторонами вверх и разложили в произвольном порядке на столе. За один вопрос Вася может указать на две любые карточки, после чего получает от ведущего ответ, являются ли записанные на них числа соседними (отличающимися на 1). За какое минимальное число вопросов Вася может гарантированно назвать хотя бы одну пару карточек, на которых написаны соседние числа?

Показать решение

В пространстве даны четыре попарно неравных и попарно параллельных отрезка \( A_{i} B_{i},\) \(i = 1,2,3,4\). Докажите, что точки продолжений боковых сторон шести трапеций \(A_{i}B_{i}A_{j}B_{j}\) \( (1\leqslant i < j \leqslant 4)\) лежат в одной плоскости.

Показать решение

Натуральные числа вида \(\underbrace{11\dots1}_{n}\) (десятичная запись состоит из \(n\) единиц) будем обозначать \(R_n\). Докажите, что существует такое натуральное число \(k\), что \(R_n\) делится на \(41\) тогда и только тогда, когда \(n\) делится на \(k\).

Показать решение

Пусть \(a, b, c - \) взаимно простые в совокупности натуральные числа, и
\[D_n = (a+b+c, a^2+b^2+c^2,a^n+b^n+c^n).\]
Найдите все возможные значения \(D_n\), где \(n-\) натуральное число, кратное 3.

\(\textit{Запись } (a_1, a_2, a_3, \dots a_k) \textit{ обозначает} \href{https://examp.info/onedef/naibolshij-obshij-delitel/}{\textit{ наибольший общий делитель}} \textit{ целых чисел }a_1, a_2, a_3, \dots, a_k.\)
\(\textit{Вспомним, какие числа называются } \href{https://examp.info/onedef/prostye-v-sovokupnosti/}{\text{взаимно простыми в совокупности.}} \)

Показать решение

На плоскости нарисовано несколько окружностей, причём каждая пара окружностей пресекается ровно в двух точках, и никакие три окружности не имеют общей точки. \(\textit{Круглосторонник}\) \(-\) это часть плоскости, со всех сторон ограниченная дугами этих окружностей, граница которой состоит из каких-то дуг этих окружностей, причём между любыми двумя внутренними точками круглосторонника можно пройти, не пересекая ни одной дуги данных окружностей.
\(\textit{Например, на рисунке ниже изображены две окружности, образующие 3 круглосторонника, обозначенные номерами 1, 2, и 3.}\)

Смежные круглосторонники \(-\) это круглосторонники, имеющие общую дугу окружности в качестве границы, причём дуга должна быть невырожденной, то есть не сводящейся к одной точке.
\(\textit{Например, на рисунке ниже смежными являются круглосторонники 1 и 2, 2 и 3, но не 1 и 3}\).

Для какого наименьшего \(С \geqslant 2023\) можно нарисовать окружности так, что выполнены условия, перечисленные выше, и эти окружности образовывали ровно \(C\) круглосторонников?
Докажите, что для любого расположения нарисованных окружностей на плоскости, удовлетворяющих перечисленным условиям и образующих не менее 2023 круглосторонников, обязательно найдётся круглосторонник, ограниченный менее чем 4-мя дугами.

Показать решение

Назовём клетчатый квадрат, каждая клетка которого покрашена в чёрный или в жёлтый цвет, \(\textit{гармоничным}\), если в нём количество чёрных клеток отличается от количества жёлтых клеток не более чем на единицу. Сколькими способами можно раскрасить клетки таблицы \(100 \times 100\) в чёрный и жёлтый цвета так, чтобы любой квадрат в этой таблице был гармоничным?

Показать решение

К графикам функций \( y = \cos x\) и \(y = a \mathop{\mathrm{tg}} x\) провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого \(a \neq 0\).

Показать решение

Пусть \(ABCD\) \( -\) параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка \(P\) выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников \(PAB\) и \(PCD\) имеют общую хорду, перпендикулярную \(AD\). Докажите, что радиусы данных окружностей равны.

Показать решение

Дан многочлен \(P(x)\) степени \(n > 5\) с целыми коэффициентами, имеющий \(n\) различных целых корней. Докажите, что многочлен \(P(x) + 3\) имеет \(n\) различных действительных корней.

Показать решение

В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока \(\textit{упорным}\), если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём \(\textit{неупорными}\). Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?

Показать решение

Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?

Показать решение

Назовём тройку чисел \(\textit{триплетом}\), если одно из них равно среднему арифметическому двух других. Последовательность \(\{a_n\}\) строится следующим образом: \(a_1 = a_2 = 1\) и при \(n>2\) число \(a_n\) — такое минимальное натуральное число, что среди чисел \(a_1, a_2, \dots , a_n\) нет трёх, образующих триплет. Докажите, что \(a_n \le \dfrac{n^2+7}{8}\) для любого \(n\).

Показать решение

Дана строго возрастающая функция \(f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0\) (где \( \mathbb{N}_0\) — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению \(f(n+f(m)) = f(n) + m + 1\) для любых \(m, n \in \mathbb{N}_0\). Найдите все значения, которые может принимать \(f(2023)\).

Показать решение

Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?

Показать решение

В треугольнике \(ABC\) высоты \(BE\) и \(CF\) пересекаются в точке \(H\), точка \(M\) — середина стороны \(BC\), а \(X\) — точка пересечения внутренних касательных к окружностям, вписанным в треугольники \(BMF\) и \(CME\). Докажите, что точки \(X\), \(M\) и \(H\) лежат на одной прямой.

Показать решение

Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны \(\mathop{\mathrm{arctg}} 1, \mathop{\mathrm{arctg}} \tfrac{1}{2}, \mathop{\mathrm{arctg}} \tfrac{1}{3}, \dots , \mathop{\mathrm{arctg}} \tfrac{1}{50}\). Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Показать решение

В выпуклом многограннике обозначим через \(B, P\) и \(T\) соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что \(B\sqrt{P+T} \ge 2P\).

Например, для тетраэдра \((B = 4, P = 6, T = 3)\) выполняется равенство, а для треугольной призмы \((B = 6, P = 9, T = 1)\) или куба \((B = 8, P = 12, T = 0)\) имеет место строгое неравенство.

Показать решение

Найдите сумму всех корней уравнения:

\[\sqrt{2x^2 - 2024x + 1023131} + \sqrt{3x^2 - 2025x + 1023132} + \sqrt{4x^2 - 2026x + 1023133} =\]\[= \sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x^2 - 2x +2} + \sqrt{3x^2 - 3x + 3}.\]

Показать решение

Есть 8 белых кубиков одинакового размера. Марине нужно покрасить 24 грани кубиков в синий цвет, а остальные 24 грани — в красный. После этого Катя склеивает из них куб 2 × 2 × 2. Если на поверхности куба столько же синих квадратов, сколько и красных, то Катя побеждает. Если нет, то побеждает Марина. Сможет ли Марина покрасить кубики так, чтобы Катя не смогла достичь цели?

Показать решение

Паша и Игорь подбрасывают монетку. Если выпадает орёл, выигрывает Паша, если решка — Игорь. В первый раз проигравший заплатил победителю 1 рубль, во второй — 2 рубля, потом — 4, и так далее (каждый раз проигравший платит в 2 раза больше, чем на прошлом шаге). В начале игры у Паши была однозначная сумма денег, а у Игоря — четырёхзначная, а в конце у Игоря стала двузначная, а у Паши — трёхзначная. Какое минимальное количество игр мог выиграть Паша? Игроки не могут уходить в минус.

Показать решение

На плоскости в ортогональной проекции изображена правильная пирамида \(SABC\) (с основанием \(ABC\)) и высота \(AH\) грани \(SAB\), как показано на рисунке. Как с помощью циркуля и линейки построить изображение центра сферы, описанной возле пирамиды?

Показать решение

Решите в натуральных числах уравнение \(a^b + a + b = b^a\).

Показать решение

На столе лежат 28 конфет. Петя считает некоторые из них вкусными. Вася за один ход может указать любой набор конфет и спросить Петю, сколько из них вкусных. Как Васе гарантированно найти все вкусные конфеты (а) за 21 ход; (б) за 20 ходов?

Показать решение

Точка \(R_1\) — середина отрезка \(ST;\) точка \(R_2\) — середина отрезка \(SR_1;\) для каждого \(n \geqslant 3\) точка \(R_n\) — середина отрезка \(R_{n−2}R_{n−1}.\) Пусть \(R\) — предельное положение точки \(R_n\) при \(n \to \infty.\) Найдите длину отрезка \(RT,\) если длина отрезка \(ST\) равна \(15.\)

Показать решение

При каком наименьшем \(n\) можно покрасить каждое натуральное число в один из \(n\) цветов так, чтобы любые два числа, отличающиеся на 5, на 8, на 10, на 13 и на 18, были покрашены в разные цвета?

Показать решение

На заводе имеются в достаточном количестве три сплава титана, алюминия и молибдена. Все сплавы с примесями.
Процентное содержание молибдена в сплавах 1, 2 и 3 составляет \(8\%, 3\%\) и \(8\%\) соответственно. Процентное содержание титана в сплавах 1, 2 и 3 составляет \(36\%, 21\%\) и \(6\%\) соответственно. Процентное содержание алюминия в сплавах 1, 2 и 3 составляет \(55\%, 76\%\) и \(15\%\) соответственно.

Из этих сплавов необходимо приготовить новый сплав, в котором алюминия должно быть не больше \(38\%\), а молибдена — не меньше \(5\%\). Какое наибольшее и какое наименьшее содержание титана (в процентах) может быть в этом сплаве?

Показать решение

Дана трапеция \(ABCD\) с основаниями \(AD = 9, BC = 2\) и боковыми сторонами \(AB = 5, CD = 3\sqrt{2}\). Точка \(P\) на прямой \(BC\) такова, что периметр треугольника \(APD\) наименьший из возможных. Найдите этот периметр.

Показать решение

Решите систему уравнений
\(\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{10} + x_{2}^{10} + \dots + x_{92}^{10} = 3^{10} \\ x_{1}^{33} + x_{2}^{33} + \dots + x_{92}^{33} = 3^{33}. \end{array}\right.\)

Показать решение

Укажите все значения параметра \(a, |a| < 1\), при которых множество решений неравенства
\[\dfrac{|\cos t − a| − \sin t}{\left|\cos t - \tfrac{3}{4}\right|} > 0\]

для \(t \in (0; \pi)\) представимо в виде двух непересекающихся интервалов.

Показать решение

Дано действительное число \(t,\) отличное от \(0,\) \(1,\) \(-1,\) \(\frac{1}{2}\) и \(2.\) Решите уравнение\[\dfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2} = \dfrac{(t^2-t+1)^3}{t^2(t-1)^2}.\]
Ответ может зависеть от \(t\).

Показать решение

В треугольнике \(ABC\) точки \(A_0, B_0, C_0\) — середины сторон \(BC, CA, AB\), а \(A_1,
B_1, C_1\) — точки касания этих сторон со вписанной окружностью соответственно. Прямые \(A_1C_1, B_1C_1\) пересекают \(A_0B_0\) в точках \(X\) и \(Y\) . Докажите, что прямая \(CC_1\) делит отрезок \(XY\) пополам.

Показать решение

Найдите все функции \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), для которых существует такое вещественное число \(a\), что при всех вещественных \(x, y\) выполнено равенство
\[2f(xy + 3) = f(x)f(y) − f(x) − 2y + a.\]

Показать решение

В группе из 80 человек некоторые знакомы друг с другом (знакомства взаимны). Известно, что в группе есть человек, который знает ровно 1 из оставшихся, человек, который знает ровно 2 из оставшихся, . . . , человек, который знает ровно 54 из оставшихся. Докажите, что в группе есть три человека, каждые два из которых знакомы.

Показать решение

Найти экстремум функции и построить её график:
\( y = \frac{x^3}{3} + x^2\)

Показать решение

Найти экстремумы функции и построить её график: \( y = x - 2\ln x.\)

Показать решение

Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = \ln{\sin{x}} \)

Показать решение

Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = \sin 2x - x\) в интервале \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}). \)

Показать решение

Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = 2\sin x + \cos 2x\) в интервале \( (0, \pi). \)

Показать решение

Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = \frac{2x^2-1}{x^4} \)

Показать решение

Определить углы треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(2; -1; 3), B(1; 1; 1)\) и \(C(0; 0; 5).\)

Показать решение

Построить точку \(M(5; -3; 4)\) и определить его длину и направление ее радиус-вектора.

Показать решение

Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = x + 2\sqrt{-x}\)

Показать решение

Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2\)

Показать решение

Найти интегралы:
\(1) \int\frac{(x^2-1)^2}{x^3} dx \)
\( 2) \int ( \frac{1}{\sqrt[3]{x^2}} - \frac{1}{x\sqrt{x}} ) dx \)

Показать решение

Найти интегралы:
\(1) \int \frac{x-2}{\sqrt{x^3}} dx \)
\( 2) \int \frac{(2\sqrt{x}+1)^2}{x^2} dx \)

Показать решение

Найти интегралы:
\(1)\int \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^3} dx \)
\(2) \int (\sin {\frac{x}{2}} - \cos \frac{x}{2})^ 2 dx \)

Показать решение

Найти интегралы:
\( 1) \int e^x (1+\frac{e^{-x}}{\cos^2{ x}}) dx \)
\( 2) \int a^x (1+\frac{a^{-x}}{x^5}) dx \)

Показать решение

Радиус-вектор точки \(M\) составляет с осью \(Ox\) угол \(45^\circ\) и с осью \(Oy\) угол \(60^\circ\). Длина его \(r = 6\). Определить координаты точки \(M\), если ее координата \(z\) отрицательна, и выразить вектор \(\overrightarrow{OM} = r\) через орты \(i, j, k.\)

Показать решение

Найти интегралы:
\( \int \frac{1-\sin^3 {x}}{\sin^2 {x}} dx \)

Показать решение

Найти интегралы:
\( \int \tan^2 {x} dx \)

Показать решение

Найти интегралы:
\( \int \frac{dx}{1-10x} \)

Показать решение

Найти интегралы:
\( \int \frac{e^{2x}dx}{1-3e^{2x}} \)

Показать решение

Найти интеграл:
\(\int cot {x} dx \)

Показать решение

Найти интеграл:
\( \int \tan {x} dx \)

Показать решение

Найти интеграл:
\(\int \frac{\cos {2x}}{\sin{ x} \cos {x}} \)

Показать решение

Найти интеграл:
\( \int \frac{\sin{x} dx}{1+3\cos{x} } \)

Показать решение

Найти интеграл:
\( \int \frac{\cos x dx}{1+2\sin x }\)

Показать решение

Найти интеграл:
\( \int \frac{dx}{x(1+\ln x)} \)

Показать решение

Найти интегралы:
\( \int \sin^2{x}\cos{x} dx \)

Показать решение

Найти интеграл: \( \int \cos^3{x} \sin{x} \, dx.\)

Показать решение

Даны точки \(A(1; 2; 3)\) и \(B(3; -4; 6)\). Построить вектор \(\overrightarrow{AB} = u\), его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора \(u\) с осями координат.

Показать решение

Составить дифференциальное уравнение данного семейства линий: \(y = e^{Cx}\).

Показать решение

Составить дифференциальное уравнение окружностей радиуса 1, центры которых лежат на прямой \(y=2x\)

Показать решение

Решить уравнение \(y'=3\sqrt[3]{y^2}\), найти решение, удовлетворяющее заданным условиям \(y(2)=0\)

Показать решение

Построить пирамиду с вершинами \(A(2; 0; 0), B(0; 3; 0), C(0; 0 ;6)\) и \(D(2; 3; 8)\), вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань \(ABC\).

Показать решение

Найти угол между биссектрисами углов \(xOy\) и \(yOz\).

Показать решение

Даны векторы \(а = i + j + 2k\) и \(b = i - j + 4k.\) Определить \(\text{Пр}_bа ~ \text{и} ~ \text{Пр}_ab.\)

Показать решение

Построить параллелепипед на векторах a = 3i + 4j, b = -3i + k, c = 2i + 5k и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векторов (a, b, c)?

Показать решение

Показать, что векторы \(a = -i + 3j + 2k, b = 2i - 3j - 4k, c = -3i + 12j + 6k\) компланарны, и разложить вектор c по векторам \(a\) и \(b\).

Показать решение

Построить плоскость 2x + 3y + 6z - 12 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

Показать решение

Даны точки \(M_1(0; -1; 3)\) и \(M_2(1; 3; 5)\). Написать уравнение плоскости, проходящей через точку \(M_1\) и перпендикулярной к вектору \(N = \overrightarrow{M_1M_2}\)

Показать решение

Написать уравнение плоскости, Написать уравнение плоскости, проходящей через ось Ox и точку \(M_1\)(0; -2; 3). Построить плоскость. Построить плоскость.

Показать решение

Написать уравнение плоскости, проходящей через точки \(M_1\) (-1; -2; 0) и \(M_2\) (1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости \( x + 2y + 2z - 4 = 0.\)

Показать решение

Найти расстояние от точки \((4; 3; 0)\) до плоскости, проходящей через точки \(M_1(1; 3; 0),~ M_2(4; -1; 2) ~\text{и}~ M_3(3; 0; 1).\)

Показать решение

Найти интеграл: \( \int (1+2\cos{x})^2 dx.\)

Показать решение

Найти интеграл: \(\int \sin^2{x}\cos^2{x} dx .\)

Показать решение

Найти интеграл: \( \int \sin^5{x} dx .\)

Показать решение

Найти интеграл: \( \int \mathop{\mathrm{ arctg {\sqrt{2x-1}}}} dx \)

Показать решение

Решить данную систему: \( \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = 2x + y \\ \dot{y} = 3x + 4y \end{array} \right.\)

Показать решение

Решите систему уравнений с заданными собственными числами: \( \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = 2x + y \\ \dot{y} = x + 3y - z \\ \dot{z} = -x + 2y + 3z \end{array}, \right.\) где \( \lambda_1 = 2 ;\: \lambda_{2,3} = 3 \pm i.\)

Показать решение

Найти интеграл: \( \int \arctan {x} dx .\)

Показать решение

Найти интеграл: \( \int \ln {(x^2 + 1)} dx .\)

Показать решение

Найти интеграл: \( \int \frac{\arcsin{x} dx}{\sqrt{1+x}} .\)

Показать решение