Найти расстояние от точки \((4; 3; 0)\) до плоскости, проходящей через точки \(M_1(1; 3; 0),~ M_2(4; -1; 2) ~\text{и}~ M_3(3; 0; 1).\)

Решение

Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{M_1M_2} (3; -4; 2),\) \( \overrightarrow{M_1M_3} (2; -3; 1).\)

\([\overrightarrow{M_1M_2}, \overrightarrow{M_1M_3}] = \begin{vmatrix}
i& j& k\\
3& -4& 2\\
2& -3& 1
\end{vmatrix} = -4i - 9k + 4j + 8k + 6i - 3j = 2i + j - k ~~ \Rightarrow~~~2x + y - z + D = 0.\)

Найдем\( D\)
\(2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 + D = 0\)
\(2 + 3 + D = 0\)
\(D = -5.\)

\(2x + y - z - 5 = 0\)

Найдем расcтояние от точки (4; 3; 0) до плоскости: \(\overrightarrow{n}(2; 1; 1), \)\(|\overrightarrow{n}| = N = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}.\)

Воспользуемся уравнением расстояния от точки до плоскости \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{N} = \frac{|2 \cdot 4 + 1 \cdot 3 + (-1) \cdot 0 - 5|}{\sqrt{6}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}. \)

Ответ: \(\sqrt{6}\).