Построить плоскость 2x + 3y + 6z - 12 = 0 и найти углы нормали к плоскости с осями координат.

Решение

\(\overrightarrow{n}(2; 3; 6),\)

\(|\overrightarrow{n}| = \sqrt{4+9+36} = 7,\)

\(cos\angle{(\overrightarrow{n}; \overrightarrow{Ox})} = \frac{(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{Ox})}{|\overrightarrow{n}| \cdot~ |\overrightarrow{Ox}|} = \frac{1\cdot 2 + 0 \cdot 3 + 0 \cdot 6}{7\cdot 1} =\frac{2}{7},\)

\(cos\angle{(\overrightarrow{n}; \overrightarrow{Oy})} = \frac{(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{Oy})}{|\overrightarrow{n}| \cdot~ |\overrightarrow{Oy}|} = \frac{0\cdot 2 + 1 \cdot 3 + 0 \cdot 6}{7\cdot 1} =\frac{3}{7},\)

\(cos\angle{(\overrightarrow{n}; \overrightarrow{Oz})} = \frac{(\overrightarrow{n}, \overrightarrow{Oz})}{|\overrightarrow{n}| \cdot~ |\overrightarrow{Oz}|} = \frac{0\cdot 2 + 0 \cdot 3 + 1 \cdot 6}{7\cdot 1} =\frac{6}{7}.\)

Ответ: \(\frac{2}{7}; \frac{3}{7}; \frac{6}{7}\).