Квадратные трёхчлены \(P(x)\) и \(Q(x)\) с действительными коэффициентами таковы, что в совокупности они имеют 4 различных действительных корня, а также каждый из многочленов \(P(Q(x))\) и \(Q(P(x))\) имеет 4 различных действительных корня. Какое наименьшее количество различных действительных чисел может быть среди корней многочленов \(P(x), Q(x), P(Q(x))\) и \(Q(P(x))\)?

Решение

Заметим, что если среди корней многочлена \(P(Q(x))\) есть корень \(Q(x)\), скажем, число \(x_{0}\), то \(P\left(Q\left(x_{0}\right)\right)=P(0)=0\), откуда 0 является корнем \(P(x)\). Аналогично если среди корней \(Q(P(x))\) есть корень многочлена \(P(x)\), то 0 является корнем \(Q(x)\). Но одновременно \(P(x)\) и \(Q(x)\) не могут иметь корень 0 , т. к. иначе в совокупности у них было бы менее 4 корней.

Отсюда можно получить оценку общего числа различных корней. Если их не больше 5 , то у \(P(Q(x))\) и \(Q(x)\) есть общий корень, а также у \(Q(P(x))\) и \(P(x)\) есть общий корень, чего не может быть по вышесказанному.

Теперь построим пример, когда различных корней ровно 6. Пусть \(P(x)=\tfrac{1}{2} x(x-3), Q(x)=\) \(-\tfrac{3}{2}(x+1)(x-2)\).

Тогда у \(P(x)\) корнями будут числа 0 и \(3 ;\)

у \(Q(x)\) корнями будут числа -1 и 2;

у \(P(Q(x))\) корнями будут числа \(-1,0,1,2\);

у \(Q(P(x))\) корнями будут числа \(-1,1,2,4\).

Итого корни всех многочленов в совокупности - целые числа от -1 до 4.

\(\textit{Замечание.}\) Существуют и другие примеры, когда различных корней ровно 6; во всех примерах один из трёхчленов \(P(x)\) и \(Q(x)\) имеет корень 0 . Например, пара трёхчленов \(P(x)=\) \(x(x-3)\) и \(Q(x)=-\tfrac{3}{4}(x+1)(x-4)\) тоже подходит.

Ответ: 6.