Даны точки \(A(1; 2; 3)\) и \(B(3; -4; 6)\). Построить вектор \(\overrightarrow{AB} = u\), его проекции на оси координат и определить длину и направление вектора. Построить углы вектора \(u\) с осями координат.

Решение

Найдем координаты вектора \(\overrightarrow{AB} = B - A = (3-1; -4-2; 6-3) = (2; -6; 3),\)

Проекции \(\overrightarrow{AB}\) на оси координат \(Пр_x ~\overrightarrow{AB} = X = 2, \) \(Пр_y ~\overrightarrow{AB} = Y = -6, \) \(Пр_z ~\overrightarrow{АВ} = Z = 3,\)

Найдем длину вектора \(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{4+36+9} = \sqrt{49} = 7,\)

Пусть \(|\overrightarrow{AB}| = |u| \Rightarrow\), следовательно \(\cos \alpha = \frac{X}{u} = \frac{2}{7},\) \(\cos \beta = \frac{Y}{u} = -\frac{6}{7}, \) \(\cos \gamma = \frac{Z}{u} = \frac{3}{7}.\)

Ответ: \(|\overrightarrow{AB}| = 7; ~~\overrightarrow{AB}= (\frac{2}{7}; -\frac{6}{7}; \frac{3}{7})\).