Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = \ln{\sin{x}} \)

Решение

Проанализируем функцию.

1) Область определения D \(\in (0+2\pi k; \pi + 2 \pi k) \)

2) Нули
\(x = 0\) при \(y \in \varnothing\)
\(y = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \)

3) Функция периодичная: \(T = 2\pi\)

4) Возрастание/убывание

\( y' = \frac{1}{\sin{x}} \cdot \cos{x} = \frac{\cos{x}}{\sin{x}}\)

\( y' = 0\) при \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z} \rightarrow y = 0 \)

\( y' > 0\) (функция возрастает) при \( x \in (2\pi k; \frac{\pi}{2} + 2\pi k) \)

\( y' < 0\) (функция убывает) при \( x \in (\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \pi + 2\pi k) \)

Точки \(x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k; y = 0 \) - экстремумы.

5) Асимптоты

а) вертикальные:

\( \lim_{x\to\pi} \ln \sin{x} = |\sin{x} = t| = \lim_{t\to0} \ln t = -\infty \)

б) горизонтальные: y = 0

в) наклонных нет

Ответ: Экстремумы: \(x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k; y = 0 \).