Найти экстремумы функции и построить её график: \( y = x - 2\ln x.\)

Решение

Проанализируем функцию.

1) Область определения D \( = (0; +\infty) \)

2) Нули
\(x = 0\) при \(y \in \varnothing\)
\(y = 0 \rightarrow x = 2\ln x = \ln x^2; x = \varnothing \)

3) Функция периодичная общего вида

4) Возрастание/убывание

\( y' = 1 - \frac{2}{x}\)

\( y' = 0\) при \(x = 2 \rightarrow y = 2 - 2\ln x \)

\( y' > 0\) (функция возрастает) при \( x > 2 \)

\( y' < 0\) (функция убывает) при \( x \in (0; 2) \)

Точка \(x = 2; y = 2-2\ln 2 \) - экстремум.

5) Асимптоты

а) вертикальные:
\( \lim\limits_{x\to 0} (x - 2\ln x) = + \infty \)

б) горизонтальных нет
\( \lim\limits_{x\to \infty +} (x - 2\ln x) = \infty\)

в) наклонные:
\( k =\lim\limits_{x\to \infty} \frac{x-2\ln x}{x} = \lim\limits_{x\to \infty}( 1 - \frac{2\ln x}{x} )= 1\)
\(b = \lim\limits_{x\to \infty} (x-2\ln x - x) = \lim\limits_{x\to \infty} (-2\ln x) = \infty \)
\( y = x \)

Ответ: Экстремум: \(x = 2; y = 2-2\ln 2 \).