Найти угол между биссектрисами углов \(xOy\) и \(yOz\).

Решение

Пусть точка \(A\) лежит на биссектрисе угла \(xOy\) и точка \(B\) на биссектрисе угла \(xOz\), следовательно \(\overrightarrow{OA} = (0,1,1), ~~~ |\overrightarrow{OA}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}, ~~~~ \overrightarrow{OB} (1,1,0), ~~~ |\overrightarrow{OB}| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}.\)

\((\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB}) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 1.\)

Найдем угол \(cos\angle{(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB})} = \frac{(\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB})}{|\overrightarrow{OA}| \cdot~ |\overrightarrow{OB}|} = \frac{1}{2} ~ \Rightarrow\) \(\angle{(\overrightarrow{OA}; \overrightarrow{OB})} = 60^\circ.\)

Ответ: \(60^\circ\).