Пусть \(ABCD\) \( -\) параллелограмм, отличный от прямоугольника, а точка \(P\) выбрана внутри него так, что описанные окружности треугольников \(PAB\) и \(PCD\) имеют общую хорду, перпендикулярную \(AD\). Докажите, что радиусы данных окружностей равны.
Решение
\(\textbf{Способ 1}\) Заметим, что линия центров \(O_1O_2\) перпендикулярна общей хорде данных окружностей, а значит параллельна прямым \(AD\) и \(BC.\) Пусть \(M\) \(-\) середина отрезка \(AB,\) \(N\) \(-\) середина отрезка \(CD.\) Тогда \(O_1M\bot AB,\) \(O_2N\bot CD\) и, поскольку \(AB\|CD,\) прямые \(O_1M\) и \(O_2N\) параллельны. Поскольку \(O_1O_2\|AD\) и при этом \(AD\|MN,\) прямые \(O_1O_2\) и \(MN\) параллельны. Следовательно четырёхугольник \(O_1MNO_2\) параллелограмм, а значит \(O_1M=O_2N.\) Кроме того, поскольку отрезки \(MB\) и \(NC\) равны, то будут равны прямоугольные треугольники \(O_1MB\) и \(O_2NC\) по двум катетам. Следовательно, \(O_1B = O_2C,\) т.е. равны радиусы данных окружностей, что и требовалось.
\(\textbf{Способ 2}\) Предположим противное, радиусы окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_2\), описанных около треугольников \(PAB\) и \(PCD\) соответственно, различны. При параллельном переносе на \(\overrightarrow{CB}\) отрезок \(CD\) перейдёт в отрезок \(AB,\) окружность \(\omega_2\) перейдёт в окружность \(\omega_3\), а прямая \(O_1O_2\) перейдёт в себя. Причём \(\omega_3\) не может совпадать с \(\omega_1\), поскольку их радиусы различны. Поэтому линия центров \(O_3O_1,\) совпадающая с прямой \(O_1O_2,\) перпендикулярна общей хорде \(AB.\) Таким образом, прямая \(AB\) параллельна общей хорде окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_2\) и, следовательно, перпендикулярна прямой \(AD.\) Тогда параллелограмм \(ABCD\) является прямоугольником, что противоречит условию задачи. Следовательно, радиусы окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_2\) равны.
\(\textbf{Способ 3}\) На стороне \(AB\) построим треугольник \(AP_1B\) равный треугольнику \(DPC\), тогда радиусы окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_2\), описанных соответственно около этих треугольников, равны. Сторона параллелограмма \(AB\) является общей хордой для окружностей \(\omega_3\) и \(\omega_1\), описанных около треугольников \(ABP\) и \(AP_1B\) соответственно, следовательно, центры этих окружностей лежат на серединном перпендикуляре к \(AB\). Поэтому, если радиусы окружностей \(\omega_1\) и \(\omega_3\) не равны (т.е. не равны радиусы окружностей \(\omega_2\) и \(\omega_3\)), то общая хорда этих окружностей будет параллельна стороне \(AB\), и не будет перпендикулярна \(AD\) (а \(PL\) соответственно не будет перпендикулярна \(AD\)). Следовательно, радиусы окружностей \(\omega_2\) и \(\omega_3\) равны.
