Дан многочлен \(P(x)\) степени \(n > 5\) с целыми коэффициентами, имеющий \(n\) различных целых корней. Докажите, что многочлен \(P(x) + 3\) имеет \(n\) различных действительных корней.

Решение

Пронумеруем корни многочлена в порядке возрастания \(a_1<a_2<\ldots<a_n.\) Тогда многочлен можно представить в виде
\[
P(x)=a(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_n),\quad a\ne0,\quad a,a_1,a_2,\ldots,a_n\in \mathbb{Z}.
\]

Покажем, что значение многочлена \(P\) в любой точке \(\href{https://examp.info/onedef/ekstremum/}{\text{локального экстремума}}\) по модулю больше \(3\) (тогда при сдвиге графика многочлена на 3 единицы вверх или вниз количество его точек пересечения с осью абсцисс не изменится). Точки локальных экстремумов многочлена \(P\) находятся на промежутках \((a_{i};a_{i+1}),\) \(i=1,2,\ldots, n-1.\)

Вычислим значения \(|P(x)|\) в точках \(x_i=a_i+\frac12.\) По условию корней не меньше шести, следовательно,
\begin{split}
\left|P\left(x_i\right)\right|&= |a(x_i-a_1)(x_i-a_2)\ldots (x_i-a_n)|\\
&\geqslant |a|\cdot\frac14\cdot\frac94\cdot\frac{25}4=|a|\cdot\frac{225}{64}=|a|\cdot 3\frac{33}{64}>3.
\end{split}

В нестрогом неравенстве учтены шесть наименьших по модулю множителей. Остальные множители, которые будут при \(n>6,\) по модулю больше единицы и только усиливают неравенство.

\(\textit{Пояснение.}\) Действительно, будем шагать от точки \(x_i\) по точам \(a_j\) \(j\leqslant i\) влево. Рассточния от \(x_i\) до \(a_j\) будут менятся следующим образом.\begin{gather*}
|x_i-a_i|=\frac{1}{2}\\
|x_i-a_{i-1}|\geqslant |x_i-a_{i}-1|=\frac{3}{2}\\ (\text{т.к. \(a_j\) различные целые числа, т.е. \(a_j\geqslant a_{j-1}+1\)} )\\
|x_i-a_{i-2}|\geqslant |x_i-a_{i-1}-1|\geqslant |x_i-a_{i}-2|=\frac{9}{2}\\
\ldots\\
|x_i-a_{j}|\geqslant |x_i-a_i-(i-j)|=\frac{2(i-j)+1}{2}.
\end{gather*}
Аналогичная ситуация, если двигаться от \(x_i\) к \(a_j\) \(j>i\) вправо. \begin{gather*}
|x_i-a_{i+1}|\geqslant \frac{1}{2}\\
|x_i-a_{i+2}|\geqslant |x_i-a_{i+1}-1|=\frac{3}{1}\\
\ldots\\
|x_i-a_{j}|\geqslant |x_i-a_{i+1}-(j-i+1)|=\frac{2(j-i+1)+1}{2}.
\end{gather*} Выбирая из полученных оценок 6 наименьших, получим неравенство. Также заметим, что если \(i>j\) или \(i<j+1,\) то \(|x_i-a_j|\geqslant \frac{3}{2}>1.\)