Дана строго возрастающая функция \(f: \mathbb{N}_0 \to \mathbb{N}_0\) (где \( \mathbb{N}_0\) — множество целых неотрицательных чисел), которая удовлетворяет соотношению \(f(n+f(m)) = f(n) + m + 1\) для любых \(m, n \in \mathbb{N}_0\). Найдите все значения, которые может принимать \(f(2023)\).

Решение

1) Подставив \(m=0\), \(n=0\), получим \(f(f(0))=f(0)+1\).Если \(f(0)=0\), то получим \(f(0)=f(0)+1\), что невозможно.

2) Пусть \(f(0)=a\), где \(a\in\mathbb{N}\). Из первого пункта следует, что \(f(a)=a+1\). Если подставить \(m=0\), \(n=a\), то получим, что \(f(2a)=f(a)+1=a+2\). Поэтому значения функции на концах отрезка \([a;2a]\) являются двумя последовательными натуральными числами. По условию функция \(f\colon \mathbb{N}_0\to \mathbb{N}_0\) \(\href{https://examp.info/onedef/vozrastayushaya-funkciya/}{\text{строго возрастает,}}\) а значит, на отрезке \([a;2a]\) не должно быть других целых точек помимо \(a\) и \(2a\), так как в противном случае значения в этих точках совпадали бы с \(a+1\) или \(a+2\), что противоречило бы строгому возрастанию. Следовательно, \(2a-a=1,\) т.е. \(a=1\).

Подставляя в исходное соотношение \(m=0\) и учитывая равенство \(f(0)=1\), получаем \(f(n+1)=f(n)+1\). Таким образом, \(f(n)=n+1\), следовательно, \(f(2023)=2024\).

Ответ: \(2024\).