В пространстве даны четыре попарно неравных и попарно параллельных отрезка \( A_{i} B_{i},\) \(i = 1,2,3,4\). Докажите, что точки продолжений боковых сторон шести трапеций \(A_{i}B_{i}A_{j}B_{j}\) \( (1\leqslant i < j \leqslant 4)\) лежат в одной плоскости.

Решение

Обозначим через \(O_{ij}\) точку пересечения боковых сторон трапеции \(A_iB_iA_jB_j\). Тогда точка \(O_{ij}\) является центром \(\href{https://examp.info/onedef/gomotetiya/}{\text{гомотетии}}\) с положительным коэффициентом, переводящей отрезок \(A_iB_i\) в отрезок \(A_jB_j\). По \(\href{https://examp.info/theorem/o-treh-centrah-gomotetii/}{\text{теореме о трех центрах гомотетии}}\) точки \(O_{ij}, \text{ } O_{jk}, \text{ } O_{ki}\) лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через \(l_{ijk}\) и докажем, что все такие прямые лежат в одной плоскости.

Для этого будем последовательно рисовать их. Сначала проведем прямые \(l_{123} \text{ и } l_{124} \): они лежат в одной плоскости \(\pi\), т. к. пересекаются в точке \(O_{12}\). Прямая \(l_{134} \) пересекает \(l_{123}\) в точке \(O_{13}\), а прямую \(l_{124} \text{ - }\) в точке \(O_{14}\), поэтому она также лежит в плоскости \(\pi\). Наконец, прямая \(l_{234}\) пересекает прямую \(l_{123}\) в точке \(O_{23}\), а прямую \(l_{124} \text{ - }\)  в точке \(O_{24}\), так что и он а лежит в плоскости \(\pi\).

Итак, все четыре прямые лежат в одной плоскости, и в ней же лежат все шесть точек \(O_{ij}\), что и требовалось доказать.