Построить параллелепипед на векторах a = 3i + 4j, b = -3i + k, c = 2i + 5k и вычислить его объем. Правой или левой будет связка векторов (a, b, c)?

Решение

\(\overrightarrow{a}(3; 4; 0),\)
\(\overrightarrow{b}(0; -3; 1),\)
\(\overrightarrow{c}(0; 2; 5).\)
\(\)
Найдем объем пирамиды
\(\)
\(V = \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} =
\begin{vmatrix}
a_1& b_1 & c_1\\
a_2& b_2 & c_2\\
a_3& b_3 & c_3
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
3& 4& 0\\
0& -3& 1\\
0& 2& 5
\end{vmatrix}
=\)
\(\)
\(= 3
\begin{vmatrix}
-3& 1& \\
2& 5&
\end{vmatrix}
- 0 \cdot~ 0 = 3\cdot~(-15-2) = - 51 \Rightarrow~ -51 < 0 \Rightarrow~ \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} - \text{левая связка}.\)

Ответ: \(V = -51, ~\) левая связка векторов.