Написать уравнение плоскости, проходящей через точки \(M_1\) (-1; -2; 0) и \(M_2\) (1; 1; 2) и перпендикулярной плоскости \( x + 2y + 2z - 4 = 0.\)

Решение

\(\overrightarrow{M_1M_2} (2; 3; 4),\)

Пусть \(\overrightarrow{N}\) перпендикулярно к исходной плоскости, \( \overrightarrow{N} (1; 2; 2).\)

\([\overrightarrow{M_1M_2}, \overrightarrow{N}] = \begin{vmatrix}
i& j& k\\
2& 3& 2\\
1& 2& 2
\end{vmatrix} = 6i + 4k + 2j - 3k - 4i - 4j = 2i - 2j + k ~~ \Rightarrow~~~~2x - 2y - z + D = 0,\)

Найдем \(D\)
\(2 \cdot 1 + (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 2 + D = 0\)
\(2 - 2 + 2 + D = 0\)
\(D = -2.\)

\(x + 4y + 2z - 2 = 0.\)

Ответ: \(x + 4y + 2z - 2 = 0\).