В выпуклом многограннике обозначим через \(B, P\) и \(T\) соответственно число вершин, рёбер и максимальное число треугольных граней, которые имеют общую вершину. Докажите, что \(B\sqrt{P+T} \ge 2P\).

Например, для тетраэдра \((B = 4, P = 6, T = 3)\) выполняется равенство, а для треугольной призмы \((B = 6, P = 9, T = 1)\) или куба \((B = 8, P = 12, T = 0)\) имеет место строгое неравенство.

Решение

\(\textit{Степенью вершины}\) многогранника называется количество исходящих из неё рёбер этого многогранника. Вершины называются \(\textit{смежными},\) если они соединены ребром.

Пусть \(A\) \(-\) произвольная вершина многогранника, \(k\) \(-\) её степень, \(m_j\) \(-\) степени всех смежных с ней вершин (\(j=1,\,2,\ldots,\, k\)), занумерованных в произвольном порядке. Тогда \(m_1+m_2+\ldots+m_k\) \(-\) это количество всех рёбер, исходящих из смежных с \(A\) вершин, учтённых один или два раза, причём дважды учтены те и только те рёбра, которые лежат против вершины \(A\) в некоторой треугольной грани многогранника. Значит, \(m_1+m_2+\ldots+m_k\leqslant \text{Р}+\text{Т}.\) Отсюда, используя известное \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим}}\), получаем\[
\frac{\sqrt{m_1}+\sqrt{m_2}+\ldots+\sqrt{m_k}}{k}\leqslant
\sqrt{\frac{m_1+m_2+\ldots+m_k}{k}}\leqslant
\frac{\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}}{\sqrt{k}}.
\]Следовательно,\[
\sqrt{\frac{m_1}{k}}+\sqrt{\frac{m_2}{k}}+\ldots+\sqrt{\frac{m_k}{k}}\leqslant
\sqrt{\text{Р}+\text{Т}}.
\]Обозначим сумму в левой части последнего неравенства через \(S(A).\)

Пусть \(A_i \) (\(i=1,\,2,\ldots,\,\text{В}\)) \(-\) все вершины многогранника, занумерованные в произвольном порядке, а \(n_i \) (\(i=1,\,2,\ldots,\,\text{В}\)) \(-\) их соответственные степени.
Для любой пары смежных вершин \(A_i \) и \(A_j \) по \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{\text{неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим}}\) выполнено неравенство\[
\sqrt{\frac{n_j}{n_i}}+\sqrt{\frac{n_i}{n_j}}\geqslant 2.
\]

Складывая эти неравенства по всем неупорядоченным парам \(\{A_i,\,A_j\} \) смежных вершин многогранника, получаем\[
\sum\limits_{i=1}^\text{В} S(A_i)\geqslant 2\text{Р}.
\]По доказанному выше неравенству \(S(A)\leqslant\sqrt{\text{Р}+\text{Т}} \) отсюда следует требуемая оценка.