Решите систему уравнений с заданными собственными числами: \( \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = 2x + y \\ \dot{y} = x + 3y - z \\ \dot{z} = -x + 2y + 3z \end{array}, \right.\) где \( \lambda_1 = 2 ;\: \lambda_{2,3} = 3 \pm i.\)

Решение

Исходное уравнение запишем в матричном виде:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\dot{x} \\
\dot{y} \\
\dot{z}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & -1\\
-1& 2 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\end{equation*}

\begin{equation*} A= \begin{pmatrix}
2 & 1 & 0 \\
1 & 3 & -1 \\
-1 & -2 & 3
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Найдем собственные вектора матрицы A:
При \(\lambda = 2\):
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 1 & -1 \\
-1 & 2 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1 \\
z_1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation*}

\[y=0, \\ x = z.\]

Получили собственный вектор \( V_1 = C_1\begin{pmatrix}
1 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}\), отвечающий собственному числу \(\lambda = 2,\) где \(C_1\) \(-\) произвольная константа отличная от нуля.
При \(\lambda = 3-i\):
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
i-1 & 1 & 0 \\
1 & i & -1 \\
-1 & 2 & i
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{ \begin{array}{l} a(i-1) + b = 0 \\ a + bi - c = 0\\ -a + 2b + ci = 0 \end{array} \right.
\end{equation*}

Получили собственный вектор \( V_2 = C_2\begin{pmatrix}
1 \\
1 - i \\
2 + i
\end{pmatrix}\), отвечающий собственному числу \(\lambda = 3-i,\) где \(C_2\) \(-\) произвольная константа отличная от нуля.

Получим решение:
\begin{equation*}
\left\{ \begin{array}{l} x = e^{(3-i)t} \\ y = (1-i)e^{(3-i)t} \\ z = (2+i)e^{(3-i)t} \end{array} \right.
\end{equation*}

По формуле Эйлера \(e^{(3-i)t} = e^{3t}(\cos t - i \sin t).\) Выделив вещественную и мнимую часть, получим:
\begin{equation*}
\left\{ \begin{array}{l} x_2 = Re(e^{(3-i)t}) = e^{3t}\cos t \\ y_2 = Re((1-i)e^{(3-i)t}) = e^{3t}(\cos t - \sin t) \\ z_2 = Re((2+i)e^{(3-i)t}) = e^{3t}(2\cos t + \sin t) \end{array} \right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_2 = C_2\begin{pmatrix}
\cos t \\
\cos t - \sin t \\
2\cos t + \sin t
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\left\{ \begin{array}{l} x_3 = Im(e^{(3-i)t}) = -e^{3t}\sin t \\ y_3 = Im((1-i)e^{(3-i)t}) = -e^{3t}(\cos t + \sin t) \\ z_3 = Im((2+i)e^{(3-i)t}) = e^{3t}(\cos t - 2\sin t) \end{array} \right.
\end{equation*}
\begin{equation*}
V_3 = C_3\begin{pmatrix}
\sin t \\
\sin t + \cos t \\
2\sin t - \cos t
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix} = V_1e^{2t} + V_2e^{3t} + V_3e^{3t}
\end{equation*}

Решение подготовили: Сергей Воспенников & Айнур Исмагилов

Ответ: \begin{equation*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = C_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} e^{2t} + C_2\begin{pmatrix} \cos t \\ \cos t - \sin t \\ 2\cos t + \sin t \end{pmatrix} e^{3t} + C_3\begin{pmatrix} \sin t \\ \sin t + \cos t \\ 2\sin t - \cos t \end{pmatrix} e^{3t} \end{equation*}.