Решить данную систему: \( \left\{ \begin{array}{l} \dot{x} = 2x + y \\ \dot{y} = 3x + 4y \end{array} \right.\)

Решение

Исходное уравнение запишем в матричном виде:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
\dot{x} \\
\dot{y}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*}
A = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
3 & 4
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Найдем собственные числа матрицы A: \begin{equation*} |A-\lambda E|=0 \end{equation*}
\begin{equation*} \begin{vmatrix}
2-\lambda & 1 \\
3 & 4-\lambda
\end{vmatrix} = \lambda^2 - 6\lambda + 5
\end{equation*}
Решим уравнение: \begin{equation*} \lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0
\end{equation*}
\begin{equation*}
\lambda_1 = 1 ;
\lambda_2 = 5
\end{equation*}
Найдем собственные вектора, соответствующие собственным числам:
При \(\lambda = 1\):
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
3 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*} x_1 = -y_1
\end{equation*}
Первый собственный вектор матрицы A, где \(C_1\) - произвольная константа:
\begin{equation*}
V_1 = C_1\begin{pmatrix}
-1 \\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}

При \(\lambda = 5\):
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
-3 & 1 \\
3 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_2 \\
y_2
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\end{equation*}
\begin{equation*} y_2 = 3x_2
\end{equation*}
Второй собственный вектор матрицы A, где \(C_2\) - произвольная константа:
\begin{equation*}
V_2 = C_2\begin{pmatrix}
3 \\
1
\end{pmatrix}
\end{equation*}
Общее решение будет записано в виде:
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix} = V_1e^x + V_2e^{5x}
\end{equation*}

Ответ: \begin{equation*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}e^x + C_2 \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}e^{5x} \end{equation*}.