Построить точку \(M(5; -3; 4)\) и определить его длину и направление ее радиус-вектора.

Решение

Пусть \(\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{r}; ~~ \overrightarrow{r} = x \cdot i + y \cdot j + z \cdot k; ~|\overrightarrow{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \Rightarrow ~~ |\overrightarrow{OM}| =\sqrt{5^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}. \)
Найдем проекции \(\overrightarrow{OM}\) на оси координат
\(Пр_x ~\overrightarrow{MO} = X = x_2-x_1 = 5, \)
\(Пр_y ~\overrightarrow{MO} = Y = y_2-y_1 = -3, \)
\(Пр_z ~\overrightarrow{MO} = Z = z_2-z_1 = 4.\)
Пусть \(\overrightarrow{u} = \overrightarrow{OM} = X \cdot i +Y \cdot j + Z \cdot k, ~~ |\overrightarrow{u}| = \sqrt{X^2 + Y^2 + Z^2} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}
= 5\sqrt{2},\)
\(\cos \alpha = \frac{X}{u} = \frac{1}{\sqrt{2}},\)
\(\cos \beta = \frac{Y}{u} = \frac{-3}{5\sqrt{2}}, \)
\(\cos \gamma = \frac{Z}{u} = \frac{4}{5\sqrt{2}}. \)

Ответ: \(|\overrightarrow{OM}| = 5\sqrt{2}; ~ \overrightarrow{OM} = ( \frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{-3}{5\sqrt{2}}; \frac{4}{5\sqrt{2}})\).