Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = x + 2\sqrt{-x}\)

Решение

Проанализируем функцию.

1) Область определения \(x \in (-\infty;0] \)

2) Нули
\(x = 0 \rightarrow y = 0\)
\(y = 0\) при \( x = -4\)

3) Функция общего вида

4) Возрастание/убывание

\( y' = 1 - \frac{1}{\sqrt{-x}} \)

\(y' = 0\) при \(x = -1 \)

\( y' > 0\) (функция возрастает) при \( x \in [-4;-1) \)
\( y' < 0\) (функция убывает) при \( x \in (-1;0] \)

Экстремум: \(x = -1; y = 1 \)

5) Асимптоты

а) вертикальные

\( \lim_{x\to0-} x + 2\sqrt{-x} = 0\)

б) горизонтальных нет

\( \lim_{x\to+\infty} x + 2\sqrt{-x} = -\infty \)

в) наклонные:
\( k = \lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x +2\sqrt{-x}}{x} = \lim\limits_{x\to -\infty} (1+\frac{2}{\sqrt{-x}}) = 1\)
\(b = \lim\limits_{x\to -\infty}(x+2\sqrt{-x} - x) = \lim\limits_{x\to -\infty} \sqrt{-x} = \infty \)
\(y = x\)

6) Выпуклость

\(y'' = (1 - \frac{1}{\sqrt{-x}})' = \frac{1}{2x\sqrt{-x}} \), на области определения всегда меньше 0 .

Функция на всем протяжении выпукла вверх.

Ответ: Экстремум: \(x = -1; y = 1 \).