Середины всех высот некоторого тетраэдра лежат на его вписанной сфере. Верно ли, что тетраэдр правильный?

Решение

Рассмотрим тетраэдр \(ABCD,\) удовлетворяющий условию задачи. Заметим, что по условию для любой высоты \(h_{i}\) данного тетраэдра справедливо неравенство \(\dfrac{h_{i}}{2} \leqslant 2 r,\) где \(r\) \(-\) радиус вписанной сферы, то есть \(h_{i}\leqslant4r,\,i=1,2,3,4.\)

Пусть \(S_{i}\) \(-\) площадь грани, на которую опущена высота \(h_{i}.\) Докажем, что \(S_{1}=S_{2}=S_{3}=S_{4}.\)

Предположим противное. Без нарушения общности можно считать, что площади граней пронумерованы в порядке их неубывания: \(S_{1}\leqslant S_{2}\leqslant S_{3} \leqslant S_{4}.\) В силу предположения в приведённых неравенствах хотя бы одно должно быть строгим. Поэтому не все \(S_{i}\) равны между собой, и \[\frac{S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}}{4}>S_{1}.\]

Выразим \(\href{https://examp.info/theorem/obyom-tetraedra/}{\text{объём тетраэдра}}\) двумя способами:
\[V=\frac{1}{3} h_{1} S_{1}=\frac{1}{3} r\left(S_{1}+S_{2}+S_{3}+S_{4}\right)>\frac{1}{3} r \cdot 4 S_{1}\]
(Вторую формулу для объемы мы получили следующим способом. Разбили тетераэдр \(ABCD\) на 4 тетераэдра \(OABC, OBCD, OCDA, ODAB,\) где \(O\) \(-\) центр вписанной сферы.)

Отсюда \(h_{1}>4r,\) что противоречит неравенству \(h_{1}\leqslant4r\).

Следовательно, все \(S_{i}\) равны, поэтому все \(h_{i}\) тоже равны, так как \(h_{i}=\dfrac{3 V}{S_{i}}.\) Пусть \(h\) \(-\) длина этих равных высот. Из приведённого выше соотношения для объёма получаем \(h=4 r,\) то есть неравенство \(h\leqslant4r\) обращается в равенство. Но это возможно только в случае если каждая высота содержит центр сферы и точку касания с гранью.

Пусть \(H\) \(-\) основание высоты тетраэдра, опущенной из точки \(A.\) Тогда \(H\) совпадает с точкой касания сферы и грани \(BCD.\) Пусть \(BH=a,\) тогда по теореме \(\href{https://examp.info/theorem/kas-i-sec/}{\text{о касательной и секущей}}\) \(a^2=\dfrac{h}{2}\cdot h.\) По теореме \(\href{https://examp.info/theorem/pifagora/}{\text{Пифагора}}\) из прямоугольного треугольника \(ABH\) получаем \[AB^2=AH^2+BH^2=h^2+a^2=h^2+\dfrac{h^{2}}{2}= \dfrac{3h^{2}}{2}.\] Аналогично получаем такое же выражение для остальных рёбер тетраэдра, следовательно, они равны между собой, то есть тетраэдр правильный.

\(\textbf{Замечание}.\) Приведём ещё один способ доказательства ключевого утверждения о том, что все высоты тетраэдра равны \(4r.\)
Доказать, что максимальная высота тетраэдра равна \(4r\) можно по-другому.
Вычисляя объём тетраэдра двумя способами, можно получить следующее соотношение на его высоты и радиус вписанной сферы: \[\displaystyle \frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_3}+\frac{1}{h_4} = \frac{1}{r}.\] Применяя теперь неравенство между средним арифметическим и средним гармоническим, получаем: \[\displaystyle \dfrac{h_1+h_2+h_3+h_4}{4} \geqslant \dfrac{4}{\dfrac{1}{h_1}+\dfrac{1}{h_2}+\dfrac{1}{h_3}+\dfrac{1}{h_4}} = 4r,\] откуда с учётом того, что \(h_i \leqslant 4r,\) немедленно следует, что все высоты тетраэдра равны \(4r.\)

Ответ: да.