Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = 2\sin x + \cos 2x\) в интервале \( (0, \pi). \)

Решение

Проанализируем функцию.

1) Область определения D \( = (0, \pi) \)

2) Нули
\(x = 0\) при \(y = 1\)
\(y \neq 0\)

3) Функция общего вида

4) Возрастание/убывание

\( y' = (2\sin x + \cos 2x)' = 2 \cos x - 2\sin 2x\)

\(2 \cos x = 2\sin 2x\)
\( \cos x =\sin 2x\)
\( \cos x =2\sin x \cos x\)

\( \cos x = 0 \rightarrow x = \frac{\pi}{2} \rightarrow y = 1\)
\(\sin x = \frac{1}{2} \rightarrow x = \frac{\pi}{6}; x = \frac{5\pi}{6} \rightarrow y = 1,5\)

\( y' > 0\) (функция возрастает) при \( x \in (0; \frac{\pi}{6}) \cup (\frac{\pi}{2} ;\frac{5\pi}{6} ) \)
\( y' < 0\) (функция убывает) при \( x \in (\frac{\pi}{6};\frac{\pi}{2})\cup (\frac{5\pi}{6};\pi) \)

Точки экстремумов:
\(x = \frac{\pi}{6}; y = 1,5 \)
\(x = \frac{\pi}{2} ; y = 1 \)
\(x = \frac{5\pi}{6}; y = 1,5 \)

5) Асимптоты

а) вертикальных нет
б) горизонтальных нет
в) наклонных нет

Ответ: Точки экстремумов: \(x = \frac{\pi}{6}; y = 1,5 \) \(x = \frac{\pi}{2} ; y = 1 \) \(x = \frac{5\pi}{6}; y = 1,5 \).