На тарелке лежат различные конфеты трёх видов: 2 леденца, 3 шоколадных и 5 мармеладных. Света последовательно все их съела, выбирая каждую следующую конфету наугад. Найдите вероятность того, что первая и последняя съеденные конфеты были одного вида.

Решение

Будем рассматривать последовательности взятия конфет как вектор длины \(2+3+5=10\). Рассмотрим пространство элементарных событий (Сколько всего может быть исходов). Для этого поймем, сколькими способами в пустом вектору длины 10 можно расположить 2 леденца. Это cочетания без повторений, то есть \(C^{2}_{10} = 45\). Рассмотрим, сколькими спопобами на оставшиеся места можно раположить 3 шоколадки, это сочетания без повторений на оставшихся 8 местах, то есть \(C^{3}_{8} = 56\). Расположив все леденцы и шоколадки, остается лишь один способ расположить все мармеладки, поэтому их можно не учитывать. В итоге, получаем:
\begin{equation*}
|\text{Все возможные исходы}| = C^{2}_{10} \cdot C^{3}_{8} = 2520.
\end{equation*}
Посчитаем, сколько исходов будут нас устраивать. Для этого сначала зафиксируем на первом и последнем месте леденцы. Остальные конфеты можно будет разложить \(C^{3}_{8} \cdot C^{5}_{5}\) способами.
Если на первом и последнем зафиксируем шоколадки, то получим \(C^{2}_{8} \cdot C^{1}_{6}\). Если на первом и последнем зафиксируем мармеладки, то получим \(C^{2}_{8} \cdot C^{3}_{6}\). Так как все эти случаи не зависят друг от друга, то получаем:
\begin{equation*}
|\text{Первая и последняя конфеты одного вида}| = C^{3}_{8} \cdot C^{5}_{5} + C^{2}_{8} \cdot C^{1}_{6} + C^{2}_{8} \cdot C^{3}_{6} = 560.
\end{equation*}
По определению дискретной вероятности:
\( P(\text{Первая и последняя конфеты одного вида}) = \\ \dfrac{|\text{Первая и последняя конфеты одного вида}|}{|\text{Все возможные исходы}|} = \frac{560}{2520} = \frac{14}{45}. \)

Ответ: \(\frac{14}{45}\).