Определить углы треугольника \(ABC\) с вершинами \(A(2; -1; 3), B(1; 1; 1)\) и \(C(0; 0; 5).\)

Решение

Найдем векторы \(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}\) и их длины \(\overrightarrow{AB} = (-1; 2; -2) ~ \Rightarrow~ |AB|^2 = (-1)^2 + (2)^2 + (-2)^2 = 1 + 4 +4 = 9 \Rightarrow ~ |AB| = 3,\) \(\overrightarrow{BС} = (-1; -1; 4) ~ \Rightarrow~ |BC|^2 = (-1)^2 + (-1)^2 + (4)^2 = 1 + 1 +16 = 18 \Rightarrow ~ |BC| = 3\sqrt{2},\) \(\overrightarrow{CA} = (2; -1; -2)~ \Rightarrow~ |CA|^2 = (2)^2 + (-1)^2 + (-2)^2 = 4 + 1+ 4 = 9 \Rightarrow ~ |CA| = 3.\)

Найдем углы \(cos\angle{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{BC})} = \frac{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})}{|\overrightarrow{AB}| \cdot~ |\overrightarrow{BC}|} = \frac{|-(1)\cdot(-1) +2 \cdot(-1) + (-2)\cdot 4|}{3\cdot~3\sqrt2} =\frac{9}{3\cdot~3\sqrt2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow~ \angle{(\overrightarrow{AB}; (\overrightarrow{BC})} = 45^\circ,\) \(\cos\angle{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CA})} = \frac{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CA})}{|\overrightarrow{AB}| \cdot~ |\overrightarrow{CA}|} = \frac{|(-1)\cdot 2 + 2 \cdot (-1) + (-2)\cdot(-2)|}{3\cdot~3} = 0 \Rightarrow~ \angle{(\overrightarrow{AB}; \overrightarrow{CA})} = 90^\circ,\)
\(\Rightarrow~ \angle{(\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{CA}))} = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ.\)

Ответ: \(45^\circ, 45^\circ, 90^\circ\).