К графикам функций \( y = \cos x\) и \(y = a \mathop{\mathrm{tg}} x\) провели касательные в некоторой точке их пересечения. Докажите, что эти касательные перпендикулярны друг другу для любого \(a \neq 0\).

Решение

Абсцисса \(x_0\) любой точки пересечения графиков данных функций удовлетворяет равенству \(\cos x_0=a\mathop{\mathrm{tg}} x_0.\) В этой точке касательная к графику функции \(y=\cos x\) имеет угловой коэффициент \(k_1=-\sin x_0,\) а касательная к графику функции \(y=a\mathop{\mathrm{tg}} x\) имеет угловой коэффициент \(k_2=\frac{a}{\cos^2 x_0}.\) Поскольку \(k_1k_2=-\frac{a\mathop{\mathrm{tg}} x_0}{\cos x_0}=-1,\) эти касательные перпендикулярны друг другу.