В турнире по теннису (где не бывает ничьих) участвовало более 4 спортсменов. Каждый игровой день каждый теннисист принимал участие ровно в одной игре. К завершению турнира каждый сыграл с каждым в точности один раз. Назовём игрока \(\textit{упорным}\), если он выиграл хотя бы один матч и после первой своей победы ни разу не проигрывал. Остальных игроков назовём \(\textit{неупорными}\). Верно ли, что игровых дней, когда была встреча между неупорными игроками, больше половины?

Решение

В последний день все \(\textit{упорные}\) выиграли. Значит, их не больше половины. Если их меньше половины, то каждый день была встреча между \(\textit{неупорными}\) игроками. Остаётся рассмотреть случай, когда количество \(\textit{упорных}\) \(k\) составляет половину от общего количества игроков \(2k.\)

Такой турнир длился \(2k-1\) дней, и нужно доказать, что были хотя бы \(k\) дней, когда была встреча между \(\textit{неупорными}\). Это равносильно тому, что было хотя бы \(k\) дней, в которые была встреча между \(\textit{упорными}\), так как и тех, и других \(-\) ровно половина (если все упорные играют с \(\textit{неупорными}\), то в этих встречах участвуют все \(\textit{неупорные}\), и обратно).

Предположим противное: пусть встречи между \(\textit{неупорными}\) игроками проходили менее, чем в половине всех дней турнира. Тогда, как отмечено выше, то же самое можно сказать и про встречи между \(\textit{упорными}\) игроками. Так как всего \(\textit{упорных}\) игроков \(k,\) каждый \(\textit{упорный}\) играл с \(\textit{упорными}\) \(k-1\) день. Поэтому единственный возможный вариант, при котором встречи между \(\textit{упорными}\) игроками проходили менее чем в половине дней турнира, \(-\) это когда все \(\textit{упорные}\) играют между собой в одни и те же дни. Другими словами можно сказать, что \(\textit{упорные}\) проводят в этот \(k-1\) день между собой минитурнир, а такое возможно только если число \(\textit{упорных}\) игроков чётно.

По условию \(2k>4,\) то есть \(k>2,\) а поскольку \(k\) \(-\) чётное, то \(k\geqslant4.\) Тогда в первый из дней минитурнира играли по крайней мере две пары \(\textit{упорных}\) игроков, а значит было хотя бы два \(\textit{упорных}\), победивших в этот день. В дальнейшем они должны сыграть между собой, но тогда один из них проиграет после того как выиграл, что противоречит определению \(\textit{упорного}\) игрока. Значит, наше предположение неверно и игровых дней, когда была встреча между \(\textit{неупорными}\) игроками, не менее половины.