Тройка действительных чисел \(A, B, C\) такова, что \(\sin A + \sin B + \sin C = 0\) и \(\cos A + \cos B + \cos C = 0\). Найти значение выражения \(\cos(A-B) + \cos(B-C) + \cos(C-A).\)

Решение

Введем обозначение
\begin{gather*}
\Sigma=\cos(A-B)+\cos(B-C)+\cos(C-A)=\\ =\cos A\cos B+\sin A\sin B+\cos B\cos C+ \sin B \sin C + \cos C\cos A+\sin C\sin A=\\ = \cos A(\cos B+\cos C)+ \sin A(\sin B+\sin C)+\cos B\cos C+\sin B\sin C =\\ =\cos A (-\cos A)+\sin A(-\sin A)+ \cos B\cos C+\sin B\sin C=\\ =\cos B\cos C+\sin B\sin C-\cos^2 A-\sin^2A=\\ =\cos B\cos C+\sin B\sin C-1.
\end{gather*}
Аналогично можно показать, что
\begin{gather*}
\Sigma=\cos A\cos B+\sin A\sin B-1=\cos A\cos C+\sin A\sin C-1.
\end{gather*}
Откуда
\begin{gather*}
3\Sigma=\Sigma-3 \Leftrightarrow \Sigma=-\frac{3}{2}.
\end{gather*}

Ответ: \(-\dfrac{3}{2}\).