Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = \sin 2x - x\) в интервале \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}). \)

Решение

Проанализируем функцию.

1) Область определения D \( = (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)

2) Нули
\(x = 0\) при \(y = 0\)
\(y = 0 \rightarrow \sin2x = x\)

3) Функция в целом периодичная, но не на заданном интервале
Функция нечетная: \( \sin 2x = \sin (-2x) \)

4) Возрастание/убывание

\( y' = (\sin 2x - x)' = 2 \cos 2x - 1\)

\( 2 \cos 2x - 1 = 0\)
\( 2 \cos 2x = 1\)
\(x = \frac{\pi}{6} \rightarrow y = \sin \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \approx 0,34 \)
\(x = - \frac{\pi}{6} \rightarrow y = \sin \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} \approx - 0,34 \)

\( y' > 0\) (функция возрастает) при \( x \in (-\frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{6} )\)
\( y' < 0\) (функция убывает) при \( x \in [ - \frac{\pi}{2} ; - \frac{\pi}{6} ) \cup ( \frac{\pi}{6} ; \frac{\pi}{2} ] \)

Точки \(x = \frac{\pi}{6}; y = \sin \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \) и \(x = - \frac{\pi}{6}; y = \sin \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\) - экстремумы.

5) Асимптоты

а) вертикальных нет
б) горизонтальных нет
в) наклонных нет

6) Выпуклость
\(y'' = (2 \cos 2x - 1)' = -4\sin 2x\)
\(y'' = 0\), когда \( \sin 2x = 0 \)
\(y'' = 0\) при \(x = 0 \)

Функция выпукла вниз на \( x \in (- \infty; 0) \)
Функция выпукла верх на \( x \in ( 0; \infty) \)

Ответ: Экстремумы: \(x = \frac{\pi}{6}; y = \sin \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \) и \(x = - \frac{\pi}{6}; y = \sin \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}\).