Натуральное число \(A\) назовём интересным, если существует натуральное число \(B\) такое, что: \(\\\)

• \(A > B\); \(\\\)

• разность чисел \(A\) и \(B\) — простое число; \(\\\)

• произведение чисел \(A\) и \(B\) — точный квадрат. \(\\\)

Найдите все интересные числа, большие 200 и меньшие 400.

Решение

Пусть \(A - B = p\) является простым числом. По условию \(AB = B(B + p) = n^2\) для некоторого натурального \(n\). Заметим, что НОД чисел \(B\) и \(B + p\) делит их разность, равную \(p\), либо 1. Разберем 2 случая.
Случай 1. Предположим, что НОД(\(B, B + p\)) = \(p\). Тогда \(B = ps \) и \(B + p = p (s+1)\) для некоторого натурального \(s\). Тогда:
\begin{equation*}
n^2 = B(B+p) = ps \cdot p(s+1), \text{т.е.} n^2 = p^2s(s+1).
\end{equation*}
Отсюда следует, что n делится на p, поэтому \(s(s+1) = \left( \frac{n}{p} \right)^2\) является полным квадратом. Но \(s^2 < s(s+1) < (s+1)^2\), т.е. число \(s(s+1)\) находится между двумя последовательными точными квадратами, поэтому само не может быть точным квадратом. Противоречие.
Случай 2. Предположим, что НОД(\(B,B+p\)) = 1. Произведение взаимно простых чисел \(B\) и \(B+p\) является точным квадратом тогда и только тогда, когда сами числа \(B\) и \(B+p\) являются точными квадратами. Тогда \(B = b^2\) и \(A = B + p = a^2\) для некоторых натуральных \(a > b\), откуда следует, что \(p = a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Из того, что произведение натуральных чисел \(a-b\) и \(a+b\) равно простому числу \(p\), следует, что \(a-b = 1\) и \(a+b = p\). Тогда \(a = \frac{p+1}{2}\) и \(b = \frac{p-1}{2}\), поэтому \(B = \left(\frac{p-1}{2}\right)^2\) и \(A = \left(\frac{p+1}{2}\right)^2\). Поскольку p является простым числом, получается несколько случаев:
1) Если \(p \leqslant 23\), то \(A \leqslant 12^2 < 200\) — не подходит под условие задачи.
2) Если \(p = 29\), то \(A = 15^2 = 225\) и \(B = 14^2 = 196\) — подходит под условие задачи.
3) Если \(p = 31\), то \(A = 16^2 = 256\) и \(B = 15^2 = 225\) — подходит под условие задачи.
4) Если \(p = 37\), то \(A = 19^2 = 361\) и \(B = 18^2 = 324\) — подходит под условие задачи.
5) Если \(p \geqslant 41\), то \(A \geqslant 21^2 > 400\) — не подходит под условие задачи.

Ответ: 225, 256, 361.