Найти интеграл: \( \int \frac{\arcsin{x} dx}{\sqrt{1+x}} .\)

Решение

\( \int \frac{\arcsin{x} dx}{\sqrt{1+x}} = \begin{vmatrix}
u = \arcsin{x}\\
du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx\\
dv = v'dx = \frac{1}{\sqrt{1+x}} dx\\
v = 2\sqrt{1+x}\\
\end{vmatrix} = \arcsin{x} \cdot 2\sqrt{1+x}-\int 2\sqrt{1+x} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx =\)

\(= \arcsin{x} \cdot 2\sqrt{1+x} - \int 2\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1-x}\sqrt{1+x}} dx = \arcsin{x} \cdot 2\sqrt{1+x} - \int\frac{2}{\sqrt{1-x}} dx = \arcsin{x} \cdot 2\sqrt{1+x} - 2 \int \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx= \)

\( =\begin{vmatrix}
t = 1-x\\
t' = -1\\
dx = \frac{dt}{-1}\\
\end{vmatrix} = \arcsin{x}\cdot 2\sqrt{1-x}-2\int \frac{1}{\sqrt{t}}\frac{dt}{-1} = \arcsin{x} \cdot 2\sqrt{1-x} + 2\cdot 2\sqrt{x} + C = \)

\( = 2 \arcsin{x} \sqrt{1-x} + 4\sqrt{x} + C . \)

Ответ: \( 2 \arcsin{x} \sqrt{1-x} + 4\sqrt{x} + C . \).