На заводе имеются в достаточном количестве три сплава титана, алюминия и молибдена. Все сплавы с примесями.
Процентное содержание молибдена в сплавах 1, 2 и 3 составляет \(8\%, 3\%\) и \(8\%\) соответственно. Процентное содержание титана в сплавах 1, 2 и 3 составляет \(36\%, 21\%\) и \(6\%\) соответственно. Процентное содержание алюминия в сплавах 1, 2 и 3 составляет \(55\%, 76\%\) и \(15\%\) соответственно.

Из этих сплавов необходимо приготовить новый сплав, в котором алюминия должно быть не больше \(38\%\), а молибдена — не меньше \(5\%\). Какое наибольшее и какое наименьшее содержание титана (в процентах) может быть в этом сплаве?

Решение

\(\textbf{Решение 1}\)
Посмотрим на третий сплав. Он удовлетворяет условию (алюминий \(-\) \(15\%<38\%\), молибден \(-\) \(8\%>5\%\)) и содержание титана там минимально возможное (если рассматривать смесь сплавов, то содержание титана может только увеличиться). Значит наименьшее содержание титана \(6\%\). Пусть при изготовлении нового сплава использовали сплав 2, тогда его можно заменить на сплав 1, т .к. в данном случае содержание титана и молибдена только увеличится, а алюминия \(-\) уменьшится. Тогда достаточно рассматривать только сплав из сплава 1 и 3. В таком сплаве будет \(8\%\) молибдена. Процентное содержание титана в новом сплаве может увеличиться только при увеличении процентного содержания первого сплава в нового. Предельно возможное содержание первого сплава в новом должно быть таковым, чтобы процентное содержание алюминия в новом удовлетворяло условиям. Возьмем новый сплав с максимально возможным содержанием алюминия (\(38\%\)). Тогда получим \(55x+15y=38(x+y)\) (\(x\) \(-\) масса первого сплава, \(y\) \(-\) масса второго сплава). Получаем \(\frac{x}{y}=\frac{23}{17}.\) Откуда находим содержание титана в процентах \[
\frac{36\cdot 23+6\cdot 17}{23+17}=23{,}25.
\]
\(\textbf{Решение 2}\)
Пусть взято \(x,\) \(y\) и \(1-x-y\) доля первого, второго и третьего сплавов соответственно. Тогда условия задачи примут вид ( с учетом \(x\geqslant 0,\) \(y\geqslant 0,\) \(1-x-y \geqslant 0\) )
\begin{gather*}
55x+76y+15(1-x-y)=40x+61y+5\leqslant 38,\\
8x+3y+8(1-x-y)=-5y=8\geqslant 5.
\end{gather*}
Получаем область на плоскости \[
\left\{\begin{array}{l}
40x+61y-23\leqslant 0,\\
-5y+3\geqslant 3,\\
x\geqslant 0, y\geqslant 0, 1-x-y\geqslant 0.
\end{array}\right.
\]Процентное содержание титана \(t=36x+21y+6(1-x-y)=6+30x+15y.\) Максимально и минимально возможные значения \(t,\) при которых прямая \(t=6+30x+15y\) имеет хотя бы одну общую точку с областью. Изменение параметра \(t\) отвечает за движение прямой вправо и влево. На рисунке изображены предельные положения прямой, которые соответствуют максимальному и минимальному возможному значению \(t.\)

Ответ: \(6, 23{,}25\).