Найти интеграл: \( \int (1+2\cos{x})^2 dx.\)

Решение

\( \int (1+2\cos{x})^2 dx = \int (1+4\cos{x}+4\cos^2{x}) dx = x + 4 \sin{x} + 4\int \frac{1+\cos{2x}}{2}dx = \)
\( = x + 4\sin{x} + 4\int \left(\frac{1}{2} + \frac{\cos{2x}}{2}\right) dx = x + 4\sin{x} + \frac{2x}{2} + \frac{2}{2}\frac{\sin{2x}}{2} + C =\)
\(= 3x + 4\sin{x} + \sin{2x} + C \)

Ответ: \(3x + 4\sin{x} + \sin{2x} + C \).