Точка \(P\) внутри остроугольного треугольника \(ABC\) такова, что \(\angle BAP = \angle CAP\). Точка \(M\) — середина стороны \(BC\). Прямая \(MP\) пересекает описанные окружности треугольников \(ABP\) и \(ACP\) в точках \(D\) и \(E\) соответственно (точка \(P\) лежит между точками \(M\) и \(E\), точка \(E\) лежит между точками \(P\) и \(D\)). Оказалось, что \(DE = MP\). Докажите, что \(BC = 2BP\).

Решение

Четырехугольник \(AEPC\) — вписанный, поэтому \( \angle CAP = \angle CEP.\) Аналогично четырехугольник \(BPAD\) — вписанный, поэтому \[\angle BDP = \angle BAP = \angle CAP = \angle CEP.\]
Опустим высоты \(BX\) и \(CY\) на прямую \(MP\). Заметим, что прямоугольные треугольники \(BMX\) и \(CMY\) равны по гипотенузе \(BM = MC\) и острому углу \(\angle BMX = \angle CMY\), откуда получаем \(BX = CY\).
Заметим, что прямоугольные треугольники \(CYE\) и \(BXD\) равны по катету \(CY = BX\) и острому углу \(\angle CEY = \angle CEP = \angle BDP = \angle BDX\), откуда получаем \(YE = XD\). Тогда
\begin{equation*}
0 = YE - XD = (YM + MP + PE) - (XP + PE + ED) = YM - XP.
\end{equation*}
Получается, что \(XP = YM = XM\). Следовательно, в треугольнике \(BPM\) высота \(BX\) совпадает с медианой, поэтому он является равнобедренным, и \(BP = CM = \frac{BC}{2}\), что и требовалось доказать.