Найдите сумму всех корней уравнения:

\[\sqrt{2x^2 - 2024x + 1023131} + \sqrt{3x^2 - 2025x + 1023132} + \sqrt{4x^2 - 2026x + 1023133} =\]\[= \sqrt{x^2 - x + 1} + \sqrt{2x^2 - 2x +2} + \sqrt{3x^2 - 3x + 3}.\]

Решение

Заметим, что подкоренные выражения в левой части получены из соответствующих подкоренных выражений правой части прибавлением \(x^{2}-2023 x+1023130=\) \((x-1010)(x-1013)\).

Так как все подкоренные выражения положительны (это достаточно проверить для \(x^{2}-x+1\) и для \(2 x^{2}-2024 x+1023131=2(x-506)^{2}+511059\), то левая часть меньше правой при \(1010<x<1013\) и больше при \(x \notin[1010,1013]\).

Равенство достигается только при \(x=1010\) и \(x=1013\), так что ответ \(-\) \(2023.\)

Ответ: 2023.