Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны \(\mathop{\mathrm{arctg}} 1, \mathop{\mathrm{arctg}} \tfrac{1}{2}, \mathop{\mathrm{arctg}} \tfrac{1}{3}, \dots , \mathop{\mathrm{arctg}} \tfrac{1}{50}\). Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.

Решение

Сначала покажем, что в данном наборе есть тройки гирь, одна из которых уравновешивает две другие. Все веса не превосходят \(\pi/4\), поэтому равенство \(\mathop{\mathrm{tg}}\left(\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{n}+\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{m}\right)=\mathop{\mathrm{tg}}\left(\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{k}\right)\) равносильно равенству \(\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{n}+\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{m}=\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{k}.\)

Воспользовавшись формулой \(\mathop{\mathrm{tg}}(x+y)=\dfrac{\mathop{\mathrm{tg}} x+\mathop{\mathrm{tg}} y}{1-\mathop{\mathrm{tg}} x \cdot \mathop{\mathrm{tg}} y},\) получим$$
\frac{n+m}{n m-1}=\frac{1}{k},
$$т.е. \(nm-k(n+m)=1.\) Добавив в этом равенстве к обеим частям \(k^{2}\) и разложив на множители, получим \((n-k)(m-k)=k^{2}+1.\) Выбирая теперь различные натуральные \(k\) и раскладывая \(k^{2}+1\) на множители, найдём подходящие тройки, в которых каждое число не превосходит 50. Результат для \(k\leqslant5\) и \(n<m\) представлен в следующей таблице:
\[\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
k & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
(n, m) & (2,3) & (3,7) & (4,13) & (5,21) & (6,31) \\
& & & (5,8)
& & (7,18) \\
\hline
\end{array}\]
Теперь покажем, как разложить гири по чашам:
\[\begin{array}{|c|c|c|}
\hline \text{1-я чаша} & & \text{2-я чаша} \\
\hline 1 & = & 2,3 \\
5,21 & = & 4 \\
6,31 & = & 7,18 \\
\hline
\end{array}\]
(в таблице указано значение \(n\) для гири весом \(\mathop{\mathrm{arctg}} \frac{1}{n}).\)

Таким образом нам удалось выбрать 10 гирь и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.