Найти все решения системы уравнений в действительных числах:
\[\left\{\begin{array}{l} x^5 = y^3 +2z, \\ y^5 = z^3 + 2x, \\ z^5 = x^3 +2y. \end{array}\right.\]

Решение

Заметим, что система не изменится, если поменять местами \(x,y,z\). Значит если \((a,b,c)\) — решение, то и любая перестановка чисел \(a,b,c\) будет решением. Поэтому достаточно найти все упорядоченные решения, т.е. решения вида \((a,b,c)\), \(a\geqslant b\geqslant c\). Положим \(x\geqslant y\geqslant z\). Из ситемы имеем
\begin{gather*}
\left\{\begin{array}{l}
z=\dfrac{x^5-y^3}{2},\\
x=\dfrac{y^5-z^3}{2},\\
y=\dfrac{z^5-x^3}{2}.
\end{array}\right.
\end{gather*}
Откуда
\begin{gather*}
x\geqslant y\geqslant z \Leftrightarrow y^5-z^3\geqslant z^5-x^3 \geqslant x^5-y^3 \Rightarrow z^5+y^3\geqslant x^5+x^3.
\end{gather*} Но \(x^3+x^5\geqslant y^3+z^5,\) т.к. \(x\geqslant y\), \(x\geqslant z.\) Получаем \(x^5+x^3=z^5+y^3.\) Значит \(x=y=z.\) Осталось найти решения уравнения \(x^5=x^3+2x.\) Заметим, что \(x=0\) является решением.

Если \(x \neq 0,\) тогда
\begin{gather*}
\left\{ \begin{array}{l}
x^5=x^3+2x, \\
x\neq 0,
\end{array}\right. \Leftrightarrow x^4=x^2+2 \Leftrightarrow
\left [\begin{array}{l}
x^2=-1 \\
x^2=2
\end{array}\right. \Leftrightarrow x=\pm \sqrt{2}.
\end{gather*}

Ответ: \((0; 0;0), \pm(\sqrt{2}; \sqrt{2}; \sqrt{2})\).