Конфигурационная

Дано действительное число \(t,\) отличное от \(0,\) \(1,\) \(-1,\) \(\frac{1}{2}\) и \(2.\) Решите уравнение\[\dfrac{(x^2-x+1)^3}{x^2(x-1)^2} = \dfrac{(t^2-t+1)^3}{t^2(t-1)^2}.\]
Ответ может зависеть от \(t\).

Решение

Заметим, что
\[
(x^2-x+1)^3 t^2(t-1)^2-x^2(x-1)^2(t^2-t+1)^3=0
\]
является уравнением \(6\) степени, а значит имеет не более \(6\) корней. Найдем эти корни. Для этого заметим, что
1) если \(x_0\) \(-\) решение, то \(1-x_0\) \(-\) тоже решение
\[
\dfrac{((1-x_0)^2-(1-x_0)+1)^3}{(1-x_0)^2((1-x_0)-1)^2}=\dfrac{(x_0^2-x_0+1)^3}{x_0^2(x_0-1)^2};
\]
2) если \(x_0\) \(-\) решение, то \(\frac{1}{x_0}\) \(-\) тоже решение
\[
\dfrac{\left(\frac{1}{x_0^2}-\frac{1}{x_0}+1\right)^3}{\frac{1}{x_0^2}\left(\frac{1}{x_0}-1\right)^2}.
\]
Отметим, что \(x=t\) \(-\) решение, тогда \(x=\frac{1}{t},\) \(x=1-t,\) \(x=1-\frac{1}{1-t}=\frac{t}{1-t},\) \(x=1-\frac{1}{t},\) \(x=\frac{1}{1-t}\) тоже решения.

Ответ: \(t,\) \(1-t,\) \(\frac{1}{t},\) \(1-\frac{1}{t},\) \(\frac{1}{1-t},\) \(\frac{t}{1-t}\).