Какое наименьшее количество различных целых чисел нужно взять, чтобы среди них можно было выбрать как геометрическую, так и арифметическую прогрессию длины 5?

Решение

Приведём пример шести целых чисел, удовлетворяющих условию: \(-8, -2, 1, 4, 10, 16.\) Числа \(1, -2, 4, -8, 16\) образуют геометрическую прогрессию, а числа \(-8, -2, 4, 10, 16\) \(-\) арифметическую прогрессию.

Покажем, что никакие пять различных целых чисел не удовлетворяют условию задачи. Предположим противное: пусть найдутся пять целых чисел, одновременно образующих \(\href{https://examp.info/onedef/geometricheskaya-progressiya/}{\text{геометрическую прогрессию}}\) и, возможно, в другом порядке, \(\href{https://examp.info/onedef/arifmeticheskaya-progressiya/}{\text{арифметическую прогрессию.}}\) Тогда они имеют вид \(b\), \(bq\), \(bq^2\), \(bq^3\), \(bq^4\). Заметим, что \(b\neq0\) и \(q\neq0\) по определению геометрической прогрессии. Числа \(b\), \(bq^2\), \(bq^4\) всегда одного знака и в арифметической прогрессии идут либо подряд при \(q<0\), либо через одного при \(q>0\). В любом случае должно выполнятся равенство \(2bq^2=b+bq^4,\) т.е. \(b(q^2-1)^2=0\), откуда \(q=\pm1\), но тогда среди чисел есть равные, что противоречит условию. Следовательно, пяти чисел недостаточно.

Ответ: \(6\).