Укажите все значения параметра \(a, |a| < 1\), при которых множество решений неравенства
\[\dfrac{|\cos t − a| − \sin t}{\left|\cos t - \tfrac{3}{4}\right|} > 0\]

для \(t \in (0; \pi)\) представимо в виде двух непересекающихся интервалов.

Решение

\[\dfrac{|\cos t - a| - \sin t}{\left|\cos t - \tfrac{3}{4}\right|} > 0
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{l}
|\cos t-a|>\sin t,\\
\cos t\neq \frac{3}{4},
\end{array}\right.
\]
Изобразим решение системы на тригонометрической окружности. Тогда \(\sin t=y,\) \(\cos t=x,\) \(t\in (0,\pi)\Leftrightarrow y>0\) и \(x, y\) лежат на единичной окружности. Имеем
\[
\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2=1,\\
|x-a|>y,\\
y>0,\\
x\neq \frac{3}{4}.
\end{array}\right.
\]
Найдем значение параметра \(a,\) при котором \(y=|x-a|\) пересекает окружность в точке с координатами \(x=\frac{3}{4},\) \(y=\sqrt{1-\left(\frac{3}{4}\right)^2}=\frac{\sqrt{7}}{4}.\) Имеем \(a=\frac{3-\sqrt{7}}{4}\) (рис. 1). Видим, что при таком значении параметра решением будут два интервала (выделено зеленым цветом), т.е. \(a=\frac{3-\sqrt{7}}{4}\) подходит (решение выделено зеленым цветом). Теперь будем увеличивать \(a.\) Видно, что при \(a<1\) решение все еще будет представлять из себя два интервала (рис. 2). При \(a=1\) решением будет один интервал \(\left(\frac{\pi}{2},\pi\right).\) При \(a<\frac{3-\sqrt{7}}{4}\) решением уже будут три интервала (рис. 3). В итоге получаем, что нам подходят только значения параметра \(a\in\left[\frac{3-\sqrt{7}}{4},1\right).\)

Ответ: \(\left[\frac{3-\sqrt{7}}4; 1\right)\).