Каждое натуральное число покрасили в один из трёх цветов: красный, синий или зелёный, причём все 3 цвета встречаются. Может ли оказаться так, что сумма любых двух чисел разных цветов является числом оставшегося цвета?

Решение

Предположим, что такое возможно. Без ограничения общности можно считать, что число \(1\) покрашено в первый цвет. Выберем произвольное число \(x\) второго цвета. Заметим, что тогда \(x +1\) должно быть третьего цвета, \(x+2\) — второго, \(x+3\) — третьего и т. д.

Таким образом, все числа, большие \(x\), покрашены во второй или третий цвет. С другой стороны, так как \(x\) покрашен во второй цвет, а \(x + 1\) — в третий, число \(2x + 1\) должно быть покрашено в первый цвет. Получаем противоречие.

Ответ: Нет.