В окружность \(\omega\) вписан треугольник \(ABC\) такой, что \(AB < BC\). Биссектриса внешнего угла \(B\) пересекает \(\omega\) в точке \(M\). Прямая, параллельная \(BM\), пересекает стороны \(BC, AB\) и продолжение стороны \(CA\) за точку \(A\) в точках \(P, Q\) и \(R\) соответственно. Прямая \(MR\) вторично пересекает \(\omega\) в точке \(X\). Докажите, что точки \(B, P, Q, X\) лежат на одной окружности.

Решение

Докажем, что точки \(R, X, P, C\) лежат на одной окружности \(\Omega\). Действительно, \(\angle XRP = \angle BMX\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(BM\) и \(RP\), а \(\angle BMX = \angle BCX\) как опирающиеся на одну дугу в \(\omega\), откуда \(\angle XRP = \angle XCP\). Теперь получаем \(\angle XBQ = \angle XCA\) из окружности \(\omega\) и \(\angle XCA = \angle XPR\) из окружности \(\Omega\). Значит, \(\angle XBQ = \angle XPQ\), откуда и следует, что точки \(X, B, P, Q\) лежат на одной окружности.