Решите систему уравнений
\(\left\{\begin{array}{l} x_{1}^{10} + x_{2}^{10} + \dots + x_{92}^{10} = 3^{10} \\ x_{1}^{33} + x_{2}^{33} + \dots + x_{92}^{33} = 3^{33}. \end{array}\right.\)

Решение

Перепишем первое уравнение в виде
\[
\left(\frac{x_1}{3}\right)^{10}+\left(\frac{x_2}{3}\right)^{10}+\ldots+\left(\frac{x_{92}}{3}\right)^{10}=1,
\]
Тогда \(\forall 1\leqslant k\leqslant 92\) имеем \(\left|\frac{x_k}{3}\right|\leqslant 1.\) Значит \(\left|\frac{x_k}{3}\right|^{33}\leqslant\left|\frac{x_k}{3}\right|^{10}.\) Для второго уравнения имеем
\[
1=\left|\left(\frac{x_1}{3}\right)^{33}+\left(\frac{x_2}{3}\right)^{33}+\ldots+\left(\frac{x_{92}}{3}\right)^{33}\right|\leqslant \left|\frac{x_1}{3}\right|^{33}+\left|\frac{x_2}{3}\right|^{33}+\ldots+\left|\frac{x_{92}}{3}\right|^{33}\leqslant \]\[\leqslant \left|\frac{x_1}{3}\right|^{10}+\left|\frac{x_2}{3}\right|^{10}+\ldots+\left|\frac{x_{92}}{3}\right|^{10}=1.
\]
Получаем \(\left|\frac{x_k}{3}\right|^{33}=\left|\frac{x_k}{3}\right|^{10}\) при всех \(1\leqslant k\leqslant 92\), тогда \(x_k=-3,0,3.\) Пусть существует \(x_i=3,\) тогда из первого уравнения получим, что \(x_k=0\) при \(k\neq i.\) Пусть существует \(x_i=-3,\) тогда аналогично получим, что \(x_k=0\) при \(k\neq i.\) Но тогда второе уравнение не выполняется. Также отметим, что нулевое решение (\(x_k=0\) для всех \(1\leqslant k\leqslant 92\) ) нам нам подходит.

Ответ: один из \(x_i\) равен 3, остальные равны 0.