Положительные числа \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) больше 1. Найдите наименьшее возможное значение выражения \(\log_{a} (ab^2)+\log_{b} (b^2c^3)+\log_{c} (c^5d^6)+\log_{d} (d^{35}a^{36})\).

Решение

Из свойства логарифма следует, что \(\log_ab \cdot \log_b c \cdot \log_c d \cdot \log_d a = 1\). Также все эти четыре множителя положительны, поскольку все числа \(a,b,c,d\) больше 1. Преобразуем и оценим имеющиеся выражения:
\[S = \log_a\left(ab^2\right) + \log_b\left(b^2c^3\right)+ \log_c\left(c^5d^6\right)+ \log_d\left(d^35a^36\right) = \]\[ = \left(\log_aa + \log_ab^2\right) +\left(\log_bb^2 + \log_bc^3\right) + \left(\log_cc^5 + \log_cd^6\right) + \left(\log_dd^{35} + \log_da^{36}\right) = \]\[
= \left(1 + 2\log_ab\right) + \left(2 + 3\log_bc\right) + \left(5 + 6\log_cd\right) + \left(35 + 36\log_da\right) \geqslant\]\[ \geqslant (1 + 2 + 5 + 35) + 4\sqrt[4]{2\log_ab\cdot 3\log _bc \cdot 6 \log_cd \cdot 36 \log_da} = 67. \]
В последнем переходе использовалось \(\href{https://examp.info/theorem/neravenstva-o-srednih/}{ \text{неравенство о средних}}\) для четырех положительных чисел \( 2\log_ab,3\log_bc, 6\log_cd, 36\log_da\). Также отметим, что значение \(S = 67\) достигается, например, при \(a = 2, b = 8, c = d = 64\), поскольку все четыре числа \( 2\log_ab,3\log_bc, 6\log_cd, 36\log_da\) будут равны 6.

Ответ: \(67\).