Различные действительные числа \(x, y, z\) таковы, что среди трёх чисел

\[\dfrac{x+y}{x^2+xy+y^2}, \quad \dfrac{y+z}{y^2+yz+z^2}, \quad \dfrac{z+x}{z^2+zx+x^2}\]

какие-то два равны. Верно ли, что все эти три числа равны?

Решение

В данных выражениях умножим числители и знаменатели на \(x-y, y-z, z-x\) соответственно (согласно условию, эти разности ненулевые). Получим те же числа в другом виде:

\[\dfrac{x^2-y^2}{x^3-y^3}, \quad \dfrac{y^2-z^2}{y^3-z^3}, \quad \dfrac{z^2-x^2}{z^3-x^3}.\]

Без ограничения общности будем считать, что первое и третье числа равны. Тогда

\[\dfrac{x^2-y^2}{x^3-y^3} = \dfrac{z^2-x^2}{z^3-x^3} \Rightarrow\]\[\Rightarrow x^2z^3 - x^5 - y^2x^3 = z^2x^3 - z^2y^3 - x^5 + x^2y^3 \Rightarrow\]\[\Rightarrow x^3y^2 + z^3x^2 = x^3z^2 + y^3x^2 + z^3y^2.\]

Это симметричное равенство, поэтому теперь можно просто поменять местами две переменные (например, \(x\) и \(y\)) и проделать те же переходы в обратном порядке, получив равенство третьего и второго чисел:
\[x^3y^2 + z^3x^2 = x^3z^2 + y^3x^2 + z^3y^2 \Rightarrow \]\[\Rightarrow x^2z^3 - x^2y^3 - z^5 + z^2y^3 = z^2x^3 - z^5 - y^2x^3 + y^2z^3 \Rightarrow\]\[\Rightarrow \dfrac{x^2-z^2}{x^3-z^3} = \dfrac{z^2-y^2}{z^3-y^3} \Rightarrow\]\[\Rightarrow \dfrac{z^2-x^2}{z^3-x^3} = \dfrac{y^2-z^2}{y^3-z^3}.\]

(Деления при этом корректны, так как выражения-делители уже фигурировали ранее в знаменателях, и мы знаем, что они не равны нулю.)

Ответ: да.