Найдите все функции \(f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), для которых существует такое вещественное число \(a\), что при всех вещественных \(x, y\) выполнено равенство
\[2f(xy + 3) = f(x)f(y) − f(x) − 2y + a.\]

Решение

Заметим, что\[
f(x)f(y)-f(x)-2y+a=2f(xy+3)=2f(yx+3)=f(y)f(x)-f(y)-2y+a \Rightarrow\]\[\forall x,y \in \mathbb{R} \quad f(x)-2x=f(y)-2y \Rightarrow f(x)-2x=C,
\]где \(C\in \mathbb{R}\) - некоторая константа. Подставим \(f(x)=2x+C\) в исходное уравнение\[
2(2xy+6+C)=4xy+2Cx+2Cy+C^2-2x-C-2y+a.
\]Это равенство выполнено \(\forall x,y\in\mathbb{R}\). Подставим \(x=y=t\in \mathbb{R},\) получим\[
4t^2+12+2C=4t^2+4Ct+C^2-4t-C+a\Rightarrow
\]\[12+2C=C(C+4t)-(C+4t)+a.
\] t может принимать любые вещественные значения. Рассмотрим \(t=0\) и \(t=-\frac{C}{4}\), получим систему уравнений
\begin{gather*}
\left\{\begin{array}{l}
12+2C=C^2-C+a,\\
12+2C=a,
\end{array}\right. \Rightarrow
\left[\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
C=0,\\
a=12,
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
C=1,\\
a=14.
\end{array}\right.
\end{array}\right.
\end{gather*}
Подставим \(C=0\) и \(a=12\) в исходное уравнение
\[
4xy+12=4xy-2x-2y+12\Leftrightarrow 2x+2y=0.
\]
Получили уравнение, которое выполнено не для всех \(x,y.\) Подставим вторую пару \(C=1\) и \(a=14.\) Имеем
\[
4xy+12+2=4xy+2x+2y+1-2x-2y-1+14 \Leftrightarrow 0=0.
\]

Ответ: \(C=1,\) \(a=14\).