Найти экстремумы функции и построить её график:
\( y = 3x^4 - 8x^3 + 6x^2\)

Решение

Проанализируем функцию.

1) Область определения \(x \in \mathbb R \)

2) Нули
\(x = 0 ; y = 0\)

3) Функция общего вида

4) Возрастание/убывание

\( y' = 12x^3 - 24x^2 + 12x\)

\(12x^3 - 24x^2 + 12x = 0\)
\( x(12x^2 - 24x + 12) = 0\)
x = 0; x = 1

\( y' > 0\) (функция возрастает) при \( x \in (0;+\infty) \)
\( y' < 0\) (функция убывает) при \( x \in (-\infty;0)\)

Экстремум: \(x = 0; y = 0\)

5) Асимптоты

а) вертикальных нет

б) горизонтальных нет

\( \lim_{x\to\infty} 3x^4-8x^3+6x^2 = \infty \)

в) наклонных нет

\( k = \lim_{x\to\infty} \frac{3x^4-8x^3+6x^2}{x} = \lim_{x\to\infty} 3x^3-8x^2+6x = \infty\)

6) Выпуклость

\(y'' = (12x^3 - 24x^2 + 12x)' = 36x^2-48x+12 \)
\(36x^2-48x+12 = 0\)
\(3x^2 - 4x +1 = 0\)
\( x = \frac{1}{3}; x = 1\)

Функция выпукла вниз \((y'' > 0)\) при \(x \in (-\infty; \frac{1}{3})\cup(1;+\infty) \)
Функция выпукла вверх \((y'' < 0)\) при \(x \in (\frac{1}{3}; 1) \)

Ответ: Экстремум: \(x = 0; y = 0\).