Показать, что векторы \(a = -i + 3j + 2k, b = 2i - 3j - 4k, c = -3i + 12j + 6k\) компланарны, и разложить вектор c по векторам \(a\) и \(b\).

Решение

Найдем координаты векторов \(\overrightarrow{a} (-1; 3; 2),\) \(\overrightarrow{b} (2; -3; -4),\) \(\overrightarrow{с} (-3; 12; 6).\)

Если \(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{с} = 0,\) то \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{с}\) компланарны.

\(\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{с} = \begin{vmatrix}
-1& 3& 2\\
2& -3& -4\\
-3& 12& 6
\end{vmatrix} = (-1) \cdot (-3) \cdot 6 + 2 \cdot 2 \cdot 12 + 3 \cdot (-3) \cdot (-4) - (-3) \cdot (-3) \cdot 2 - 2 \cdot 3 \cdot 6 - 12 \cdot (-4) \cdot (-1) =\) \(= 18 + 48 + 36 - 18 - 36 - 48 = 0\), следовательно \(\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{с}\) компланарны.

Разложим вектор с по векторам а и b \(c = \lambda \cdot a + \mu \cdot b,\)

\(\left\{
\begin{array}{rcrcr}
\lambda\cdot~(-1) + \mu\cdot~2 = -3\\
\lambda\cdot~(3) + \mu\cdot~(-3) = 12.\\
\end{array}\right.\)

Воспользуемся теоремой Крамера \(|A|= \begin{vmatrix}
-1& 2\\
3& -3
\end{vmatrix} = (-1) \cdot (-3) - 2 \cdot 3 = 3 - 6 = -3 \neq 0 \Rightarrow\)

\(\lambda = \frac{\begin{vmatrix}
-3& 2\\
-12& -3
\end{vmatrix}}{|A|} = \frac{-3 \cdot~(-3) - 2\cdot~(12)}{-3} = \frac{-15}{-3} = 5 ~ \Rightarrow\)

\(-3 = 5 \cdot (-1) + \mu\cdot~2\)
\(-3 = -5 + \mu2\)
\(2 = \mu \cdot~2\)
\(\mu = 1.\)

\(c = 5a + b.\)

Ответ: \(c = 5a + b\).