При \(x, y, z \in (0, 2]\) найдите максимальное значение выражения \(A = \dfrac{(x^3-6)\sqrt[3]{x+6}+(y^3-6)\sqrt[3]{y+6}+(z^3-6)\sqrt[3]{z+6}}{x^2+y^2+z^2}\).

Решение

При \(x \in (0, 2]\) справедливы неравенства \(\sqrt[3]{x+6}\leqslant2\) и \(x^3\leqslant 2x^2\), откуда \((x^3-6)\sqrt[3]{x+6}\leqslant2(2x^2-6)\).
Оставшиеся слагаемые в числителе имеют такой же вид и их можно оценить таким же способом.

Тогда \(A\leqslant2\dfrac{2x^2-6+2y^2-6+2z^2-6}{x^2+y^2+z^2}=4-\dfrac{36}{x^2+y^2+z^2}\leqslant 4-\dfrac{36}{12}=1\)

Равенство достигается при \(x=y=z=2.\)

Ответ: 1.