Найдите все натуральные числа \(a\), для которых число
\[\dfrac{a+1+\sqrt{a^5+2a^2+1}}{a^2+1}\]
также является натуральным.

Решение

Обозначим \( a + 1 = b \), \( \sqrt{a^5 + 2a^2 + 1} = c \). Запишем многочлен \( c^2 - b^2 = a^5 + 2a^2 + 1 - (a + 1)^2 = a^5 + a^2 - 2a \), и поделим его на \( a^2 + 1 \) «уголком», получим остаток, равный \(-(a + 1)\). При \( a > 1 \) модуль остатка меньше \( a^2 + 1 \), поэтому остаток не может делиться на \( a^2 + 1 \) при каком \( a > 1 \) (Смотри на рисунок). Но если \( c^2 - b^2 \) не делится на знаменатель \( a^2 + 1 \), то и \( b + c \) не делится. Уравнению удовлетворяет единственное значение \( a = 1 \).

Ответ: \(a = 1\).