Решите уравнение \(5\arcsin(\cos{x}) = x + \frac{\pi}{2}\).

Решение

По определению равенство \(b = \arcsin a\) эквивалентно соотношениям \(\sin b = a, -\frac{\pi}{2} \leqslant b \leqslant \frac{\pi}{2},\) поэтому получаем
\begin{gather} \arcsin (\cos x) = \frac{x}{5} + \frac{\pi}{10} \Leftrightarrow \left\{
\begin{gathered}
\cos x = \sin \left(\frac{x}{5} +\frac{\pi}{10}\right),\\
-\frac{\pi}{2}\leqslant \frac{x}{5} +\frac{\pi}{10} \leqslant \frac{\pi}{2}\\
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow \\ \left\{
\begin{gathered}
\cos x = \cos \left(\frac{2\pi}{5} -\frac{x}{5}\right),\\
-\frac{3\pi}{5}\leqslant \frac{x}{5}\leqslant \frac{2\pi}{5}\\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{
\begin{gathered}
\pm x = \frac{2\pi}{5}-\frac{x}{5} +2\pi n, n \in \mathbb{Z}\\
-3\pi\leqslant x\leqslant 2\pi\\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow \\ \left\{
\begin{gathered}
\left[
\begin{gathered}
x = \frac{\pi}{3} + \frac{5\pi n}{3},\\
x = \frac{5\pi n}{2} - \frac{\pi}{2},\\
\end{gathered} \right. \\
-3\pi\leqslant x\leqslant 2\pi\\
\end{gathered} \right. \Leftrightarrow x \in \left\{-3\pi; -\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}; 2\pi \right\}.\end{gather}

Ответ: \(x \in \left\{-3\pi; -\frac{4\pi}{3}; -\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{3}; 2\pi \right\}\).