На координатной плоскости дан прямоугольник с целочисленными координатами вершин, отличный от квадрата. Докажите, что можно провести несколько прямых, параллельных сторонам прямоугольника, так, что прямоугольник разобъётся на квадраты с целочисленными координатами вершин.

Решение

Пусть \(ABCD\) — данный прямоугольник. Без ограничения общности можно считать, что \(A = O\) – начало координат: иначе сместим начало координат в точку \(A\), а в конце сделаем сдвиг на целочисленный вектор \(\overrightarrow{AO}\).

Обозначим векторы \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{OD}=(p;q)\), \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OB}=(m;n)\), где \(p\), \(q\), \(m\), \(n\) – целые числа.

Поскольку \(\overrightarrow{u}\) и \(\overrightarrow{v}\) взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно 0, т.е. \(pm + qn = 0\) (этот факт также следует из соотношения для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых \(ОB\) и \(ОD).\)

Рассмотрим сначала случай, когда \(p\) и \(q\) не взаимно просты. Тогда \(p = p_{1}k\), \(q = q_{1}k\), \(k = \)НОД\((p, q) > 1\). В этом случае рассмотрим на стороне \(OD\) промежуточные точки \(D_{1}\), \(D_{2}\), \(...,\) \(D_{k-1},\) где \(\overrightarrow{OD_{i}} = ( p_{1}i; q_{1}i)\), \(i = \) 1, 2, \(...\), \(k - 1.\)
Проведём через точки \(D_{i}\) прямые, параллельные стороне \(OB.\) Они пересекут сторону \(BC\) в точках \(D'_{i},\) где \[\overrightarrow{OD'_{i}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ВD'_{i}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD_{i}} =(m+p_{1}i; n+q_{1}i). \]

Таким образом, точки \(D_{i}\) и \(D'_{i}\) имеют целочисленные координаты и тем самым, прямые \(DD'\) \((i = 1, 2, ..., k - 1)\) разбивают прямоугольник \(OBCD\) на \(k\) прямоугольников с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением первого типа. Аналогично, если \(m\) и \(n\) не взаимно просты, то прямыми, параллельными стороне \(OD,\) разобьем \(OBCD\) на меньшие прямоугольники с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением второго типа; прямые этого разбиения проходят через промежуточные точки \(B_{j}\) на стороне \(OB,\) где \(j=1,2,...,l-1,\) а \(l\) – наибольший общий делитель \(m\) и \(n,\) (\(m=m_{1} l,\) \(n=n_{1} l\)), \(\overrightarrow{OB_{j}} =\) (\(m_{1} j\); \(n_{1} j\)). Заметим, что в случае, когда одновременно \(k > 1\) и \(l > 1\), прямые первого и второго разбиений разбивают прямоугольник \(OBCD\) на \(k \cdot l\) равных прямоугольников с вершинами в точках \(M_{ij},\) где \[\overrightarrow{OM_{ij}} = \overrightarrow{OD_{i}} + \overrightarrow{OB_{j}} = ( p_{1} i + m_{1} j; q_{1} i + n_{1} j),\] \(i = 1, 2, ..., k\), \(j = 1, 2, ..., l,\) т.е. все вершины имеют целочисленные координаты.

Итак, приходим к случаю, когда координаты каждого из векторов \(\overrightarrow{u},\) \(\overrightarrow{v}\) взаимно просты. Но тогда из равенства \(pm = -qn\) получим, что \(p = \pm n\), \(q = \pm m\) (действительно, из этого равенства следует, что \(p\) делится на \(n\) и, в то же время, \(n\) делится на \(p\), значит, \(p = \pm n;\) аналогично, \(q = \pm m\), с учетом знака в данном равенстве). В этом случае стороны прямоугольника \(OBCD\) равны: \[|OD| = \sqrt{p^2 + q^2} = \sqrt{n^2 + m^2} = |OB|,\] и наш прямоугольник – квадрат.

Получили, что используя разбиения первого и второго типа, мы можем разбить исходный прямоугольник на квадраты с целочисленными координатами.

Ответ: \(\).